Zusammenfassung - Folgenkonzept
Zahlenfolgen in Kontexten
Zahlenfolgen kommen in verschieden Kontexten vor. Hier einige Beispiele:
Beispiel 1
Die Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; ...$ beschreibt der Reihe nach die jeweilige Anzahl von Begrüßungen, wenn $1; 2; 3; 4; 5; ...$ Personen sich alle gegenseitig begrüßen.
Beispiel 2
Die Zahlenfolge $1; 3; 7; 15; 31; ...$ beschreibt der Reihe nach die Anzahl der Scheibenbewegungen, die bei der Umschichtung eines Stapels mit $1; 2; 3; 4; 5; ...$ Scheiben erforderlich sind.
Beispiel 3
Die Zahlenfolge $0; 0.5; 1; 1.5; 2; ...$ beschreibt der Reihe nach den Gesamtinhalt eines Sparschweins [in €] nach $0; 1; 2; 3; 4; 5; ...$ Tagen, wenn das Sparschwein zu Beginn leer ist und man jeden Tag 0.50 € hineinwirft.
Mathematische Beschreibung der Beispielfolgen
Zahlenfolgen können mathematisch mit Hilfe von Funktionen beschrieben werden. Wir verdeutlichen das anhand der betrachteten Beispiele.
Beispiel 1: Begrüßungen
Zahlenfolge: $0; 1; 3; 6; 10; ...$
Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl $n$ aus dem Bereich $n = 1; 2; 3; ...$ die Zahl $a_n$ zuordnet, die so berechnet wird:
$a_n = \displaystyle{\frac{n \cdot (n-1)}{2}}$ für $n = 1; 2; 3; ...$
Beispiel 2: Türme von Hanoi
Zahlenfolge: $1; 3; 7; 15; 31; ...$
Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl $n$ aus dem Bereich $n = 1; 2; 3; ...$ die Zahl $a_n$ zuordnet, die so berechnet wird:
$a_n = 2^n - 1$ für $n = 1; 2; 3; ...$
Beispiel 3: Sparschwein
Zahlenfolge: $0; 0.5; 1; 1.5; 2; ...$
Die Zahlenfolge wird mit einer Funktion beschrieben, die einer natürlichen Zahl $n$ aus dem Bereich $n = 0; 1; 2; ...$ die Zahl $a_n$ zuordnet, die so berechnet wird:
$a_n = n \cdot 0.5$ für $n = 0; 1; 2; ...$
Präzisierung des Folgenbegriffs
Die Beispiele verdeutlichen, dass wir eine Zahlenfolge als Funktion auffassen können.
Folge
Eine Folge ist eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl (aus einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen) eine reelle Zahl zuordnet.
- Die Definitionsmenge einer Folge ist eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Meist ist es die Menge $\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, ... \}$ oder die Menge $\mathbb{N}^{*} = \{ 1, 2, ... \}$. Wir beschreiben die Definitionsmenge oft in der Form $n = 0; 1; 2; ...$ bzw. $n = 1; 2; ...$.
- Die Folgenglieder einer Folge sind die Funktionswerte der entsprechenden Funktion. Wir bezeichnen sie z.B. mit $a_1; a_2; a_3; ...$. Hier wird das Folgenglied mit der Platznummer $n$ mit dem Bezeichner $a_n$ versehen.
- Die Folgenglieder einer Folge können beliebige reelle Zahlen sein.
- Die Folgenglieder kann man - wie bei Funktionen üblich - im Koordinatensystem verdeutlichen. Beachte, dass der Graph einer Folge nur aus unverbundenen Punkten besteht.
- Eine Folge wird - etwas ungewohnt - nicht wie bei Funktionen üblich mit einem Bezeichner wie z.B. $a$ beschrieben. Stattdessen benutzt man einen Ausdruck wie z.B. $\left( a_n \right)$, wenn man die Folge mit den Folgengliedern mit $a_1; a_2; a_3; ...$ beschreibt.
Berechnung von Folgengliedern
Wir beginnen mit einer Zusammenstellung von Berechnungsformeln für die oben bereits thematisierten Beispielfolgen.
| Beispiel | explizite Folgendarstellung | rekursive Folgendarstellung |
|---|---|---|
| Begrüßungen | $a_n = \dfrac{n\cdot (n-1)}{2}$ für $n = 1; 2; 3; \dots$ |
$a_1 = 0$ $a_n = a_{n-1} + (n-1)$ für $n = 2, 3, ...$ |
| Türme von Hanoi | $a_n = 2^n - 1$ für $n = 1; 2; 3; \dots$ |
$a_1 = 1$ $a_n = 2 \cdot a_{n-1} + 1$ für $n = 2, 3, ...$ |
| Sparschwein | $a_n = n \cdot 0.5$ für $n = 0; 1; 2; \dots$ |
$a_0 = 0$ $a_n = a_{n-1} + 0.5$ für $n = 1, 2, ...$ |
Mit einer expliziten Folgendarstellung (bzw. expliziten Berechnungsvorschrift) kann man für jede Platznummer $n$ direkt das Folgenglied $a_n$ berechnen. Eine explizite Berechnungsvorschrift entspricht somit der gängigen Beschreibung einer Funktion mit einer Funktionsgleichung.
Das sieht man so: Im Fall der Sparschweinfolge könnte man statt $a_n = n \cdot 0.5$ auch $a(n) = n \cdot 0.5$ (für $n = 0; 1; 2; \dots$) schreiben.
Die Berechnung von Folgengliedern mit einer rekursiven Folgendarstellung (bzw. rekursiven Berechnungsvorschrift) ist etwas komplizierter. Wir betrachten die hierzu die rekursive Darstellung der Begrüßungsfolge genauer. Sie besteht aus zwei Gleichungen.
| $a_1 = 0$ | (Rekursionsanfang) |
| $a_n = a_{n-1} + (n-1)$ für $n = 2, 3, ...$ | (Rekursionsschritt) |
Die Rolle dieser Gleichungen erkennt man, wenn man sich eine rekursive Berechnung von Folgengliedern mit diesen rekursiven Gleichungen anschaut.
| rekursiver Abstieg | rekursiver Aufstieg | ||
|---|---|---|---|
| $\downarrow$ | $a_4 = a_3 + 3$ | $a_4 = 3 + 3 = 6$ | |
| $\downarrow$ | $a_3 = a_2 + 2$ | $a_3 = 1 + 2 = 3$ | $\uparrow$ |
| $\downarrow$ | $a_2 = a_1 + 1$ | $a_2 = 0 + 1 = 1$ | $\uparrow$ |
| $a_1 = 0$ | $a_1 = 0$ | $\uparrow$ |
Bei der rekursiven Berechnung von Folgengliedern wird der Rekursionsschritt absteigend solange wiederholt, bis man den Rekursionsanfang benutzen kann, um aufsteigend den Wert des Folgenglieds zu bestimmen. Eine solche Berechnung ist demnach recht aufwendig.
Eine rekursive Folgendefinition besteht aus einer oder mehreren Gleichungen, die den Rekursionsanfang festlegen, sowie einer oder mehreren Gleichungen, die den Rekursionsschritt festlegen.
Beachte, dass im Rekursionsschritt vorangehende Folgenglieder bei der Festlegung des aktuellen Folgenglieds benutzt werden. Beachte auch, dass man einen Rekursionsanfang benötigt, damit die rücklaufenden Berechnungen zu einem Ende kommen.
