Vertiefung - Begründungen und Beweise
Zur Orientierung
Die Mathematik ist eine beweisende Wissenschaft. In diesem Abschnitt erläutern wir kurz, was das heißt.
Ein Beispiel genauer analysieren
Betrachte noch einmal die Folge $\left( a_n \right)$, die so festgelegt ist:
| Graph | Darstellung |
|---|---|
| $a_n = 90 + 10\cdot n$ |
Aufgabe 1: Monotonie nachweisen
Vergleiche die beiden folgenden Nachweise, dass der Folge $\left( a_n \right)$ streng monoton steigend ist. Worin unterscheiden sie sich? Warum favorisiert man in der Wissenschaft Mathematik Beweise? Warum gibt man sich in der Schule oft mit Begründunen zufrieden?
Begründung
Im Applet sieht man, dass die Folgengleider der Folge $\left( a_n \right)$ mit jeder Platznummer um $10$ größer werden. Die Folge ist also streng monoton steigend.
Beweis
Bei der Folge $\left( a_n \right)$ gilt für alle Platznummernm $n$:
$a_{n+1} - a_{n} = (90 + 10 \cdot (n+1)) - (90 + 10 \cdot n) = 90 + 10n + 10 - 90 - 10n = 10 > 0$
Aus $a_{n+1} - a_{n} > 0$ folgt $a_{n+1} > a_{n}$ bzw. $a_{n} \text{ < } a_{n+1}$ (für alle Platznummern $n$).
Die Folge $\left( a_n \right)$ ist also streng monoton steigend.
