Erarbeitung - Folge als Funktion
Zur Orientierung
Ziel dieses Abschnitts ist es, den Begriff Zahlenfolge
zu präzisieren.
Wir gehen dabei von den Beispielen Begrüßungen
und Türme von Hanoi
aus.
Die Begrüßungsfolge analysieren
In einem Raum befinden sich zahlreiche Personen. Jede Person soll jede andere begrüßen. Wie viele Begrüßungen finden dann statt?
Die Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10, ...$ beschreibt die Anzahl der Begrüßungen bei $1; 2; 3; 4; 5; ...$ Personen.
Wenn man die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; ...$ mit den Bezeichnern $a_1; a_2; a_3; a_4: a_5; ...$ beschreibt, dann kann man die Folgenglieder mit der Berechnungsformel $a_n = \displaystyle{\frac{n \cdot (n-1)}{2}}$ beschreiben.
Aufgabe 1
Erläutere anhand des folgenden Applets:
- Die Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; ...$ kann als (verkürzte) Wertetabelle einer Funktion aufgefasst werden.
- Diese Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl $n$ (für $n = 1, 2, 3, \dots$) das Folgenglied $a_n$ zu.
- Die explizite Berechnungsformel $a_n = \dfrac{n \cdot (n-1)}{2}$ stellt die Funktionsgleichung der Funktion dar. Man könnte sie auch so schreiben: $a(n) = \dfrac{n \cdot (n-1)}{2}$.
- Die Zahlenfolge kann man auch mit einem Funktionsgraph darstellen. Jedem Folgenglied $a_n$ entspricht ein Punkt des Graphen mit den Koordinaten $(n|a_n)$. Es macht keinen Sinn, die Punkte des Graphen zu verbinden.
Anleitung für das Applet
- Die Berechnungsformel für $a_n$ (als Funktionsgleichung der Folge) ist bereits im entsprechenden Eingabefeld eingetragen.
- Mit den Eingabefeldern iMin und iMax kann man den Bereich festlegen, für den man die Folgenglieder berechnen und darstellen will.
- Passend zur Funktionsgleichung und zum vorgegebenen Indexbereich wird die Wertetabelle zur Folge erstellt.
- Wenn man den Schieberegler bewegt, dann werden die Zuordnungen der Folge angezeigt. Diese Zuordnungen werden zusätzlich im Koordinatensystem veranschaulicht.
- Mit der Bewegung des Schiebereglers entsteht somit (ausschnittsweise) der Graph der Folge.
Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion1.ggb
Die Türme-von-Hanoi-Folge analysieren
Die Scheiben des Ausgangsstapels sollen nach vorgegebenen Regeln auf einen Endstapel umgeschichtet werden. Wie viele Scheibenbewegungen sind hierzu erforderlich?
Die Zahlenfolge $1; 3; 7; 15; 31, ...$ beschreibt die Anzahl der Bewegungen bei einem Ausgangsstapel mit $1; 2; 3; 4; 5; ...$ Scheiben.
Wenn man die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge $1; 3; 7; 15; 31, ...$ mit den Bezeichnern $a_1; a_2; a_3; a_4: a_5; ...$ beschreibt, dann kann man die Folgenglieder mit der Berechnungsformel $a_n = 2^n - 1$ beschreiben.
Aufgabe 2
Erläutere anhand des folgenden Applets:
- Die Zahlenfolge $1; 3; 7; 15; 31, ...$ kann als (verkürzte) Wertetabelle einer Funktion aufgefasst werden.
- Diese Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl $n$ (für $n = 1, 2, 3, \dots$) das Folgenglied $a_n$ zu.
- Die explizite Berechnungsformel $a_n = 2^n - 1$ stellt die Funktionsgleichung der Funktion dar. Man könnte sie auch so schreiben: $a(n) = 2^n - 1$.
- Die Zahlenfolge kann man auch mit einem Funktionsgraph darstellen. Jedem Folgenglied $a_n$ entspricht ein Punkt des Graphen mit den Koordinaten $(n|a_n)$. Es macht keinen Sinn, die Punkte des Graphen zu verbinden.
Anleitung für das Applet
- Die Berechnungsformel für $a_n$ (als Funktionsgleichung der Folge) ist bereits im entsprechenden Eingabefeld eingetragen.
- Mit den Eingabefeldern iMin und iMax kann man den Bereich festlegen, für den man die Folgenglieder berechnen und darstellen will.
- Passend zur Funktionsgleichung und zum vorgegebenen Indexbereich wird die Wertetabelle zur Folge erstellt.
- Wenn man den Schieberegler bewegt, dann werden die Zuordnungen der Folge angezeigt. Diese Zuordnungen werden zusätzlich im Koordinatensystem veranschaulicht.
- Mit der Bewegung des Schiebereglers entsteht somit (ausschnittsweise) der Graph der Folge.
Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion2.ggb
Eine weitere Folge betrachten
Die Folgenglieder einer Zahlenfolge können beliebige reelle Zahlen sein. Das kannst du im nächsten Beispiel sehen.
Bei einem Sparschwein werden jeden Tag 0.50 € eingeworfen. Das Sparschwein ist zu Beginn leer.
Welcher Geldbetrag [in €] befindet sich nach $0; 1; 2; \dots$ Tagen im Sparschwein?
Aufgabe 3
Mit der Zahlenfolge $a_0; a_1; a_2; a_3; ...$ beschreiben wir die Geldbeträge im Sparschwein nach $0; 1; 2; \dots$ Tagen.
Ergänze im Applet die Formel zur Berechnung von $a_n$. Benutze passende Eingaben für nMin und nMax. Kontrolliere, ob die Ergebnisse in der Wertetabelle sinnvoll sind.
Zum Herunterladen: darstellung_als_funktion3.ggb
Den Folgenbegriff präzisieren
Die Beispiele verdeutlichen, dass man eine Zahlenfolge als Funktion auffassen kann.
Folge
Eine Folge ist eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl (aus einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen) eine reelle Zahl zuordnet.
Als Indexmenge bzw. Definitionsmenge der Folge verwendet man üblicherweise die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; \dots\}$ oder die Menge $\mathbb{N}^{*} = \{1; 2; 3; \dots\}$ der natürlichen Zahlen ohne die $0$. Es sind aber auch andere Indexmengen wie z.B. $\{3; 4; 5; \dots\}$ möglich.
Quellen
- [1]: Sparschwein - Urheber: usda - Lizenz: Gemeinfrei
