Nullstellen
Zur Orientierung
Nullstellen spielen sowohl in Anwendungssituationen als auch bei der mathematischen Theoriebildung eine wichtige Rolle. Das wirst du in den weiteren Kapiteln immer wieder sehen. Wir betrachten hier die Nullstellen von linearen Funktionen.
Nullstellen bestimmen
Wir betrachten Situationen, bei denen sich eine Bestandsentwicklung mit einer linearen Funktion $f(x) = m \cdot x + b$ beschreiben lässt. Das besondere Interesse gilt den Stellen bzw. $x$-Werten, bei denen der Bestand die Nullmarke erreicht.
Verwende das folgende Applet zur Erkundung solcher Situationen.
Anleitung für das Applet
- Die Bestandsentwicklung wird mit Hilfe des grauen Balkens ▮ im unteren Fenster angezeigt. Man kann sich darunter eine Wasserstandsanzeige oder eine Kontostandsanzeige vorstellen.
- Im oberen Fenster kann man die Parameter $m$ und $b$ der Funktion (in einem voreingestellten und stark eingegrenzten Bereich) einstellen.
- Daneben wird eine Wertetabelle erzeugt. Hier werden nur die aktuellen Werte zum roten Punkt ♦ im Koordinatensystem im unteren Fenster angezeigt.
- Den roten Punkt ♦ im Koordinatensystem kann man entlang der $x$-Achse hin und her bewegen.
- Die Kontrollkästchen [b] und [m] dienen dazu, Information zur Deutung der betreffenden Parameter einzublenden. Mit dem Kontrollkästchen [Nullstelle] kann man in der Wertetabelle die Nullstelle überprüfen. Klicke es vorerst nicht an. Bearbeite zunächst die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: linearefunktionen5.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte die im Applet voreingestellte Situation. Für welchen $x$-Wert erreicht der Bestand die Nullmarke? Stelle diesen $x$-Wert mit dem roten Punkt ♦ im Koordinatensystem ein. Welche besondere Eigenschaft hat dieser $x$-Wert, den man Nullstelle nennt?
(b)
Ergänze folgende Charakterisierung des Begriffs Nullstelle
.
Nullstelle
Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist eine Zahl (bzw. Stelle) $x$, die folgende Bedingung erfüllt:
$f(x) = \dots$
(c) Betrachte die folgenden Fälle. Wie viele Nullstellen hat die lineare Funktion $f(x) = mx + b$ jeweils?
- $m \neq 0$
- $m = 0$ und $b \neq 0$
- $m = 0$ und $b = 0$
Aufgabe 2
(a) Betrachte die Funktion $f(x) = 1.5x - 1$. Die Nullstelle dieser Funktion kann man im Koordinatensystem nur ungefähr ablesen. In der Wertetabelle wird der Wert $0.67$ angezeigt. Ist das der genaue Wert? Überprüfe, indem du den Funktionswert $f(0.67)$ berechnst.
(b) Bestimme die Nullstelle rechnerisch. Verwende das folgende Applet bei Bedarf oder zur Kontrolle.
Zum Herunterladen: nullstelleberechnen.ggb
