Gleichung und Graph
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurden Funktionen zur Beschreibung der Abhängigkeiten zwischen Größen benutzt,
in denen die Funktionsvariable quadratisch vorkommt.
- $A(x) = x^{\color{red}{2}}$
- $B(v) = \dfrac{1}{100}v^{\color{red}{2}}$
- $A(v) = \dfrac{1}{100}v^{\color{red}{2}} \color{black} + \dfrac{3}{10}v$
In diesem Abschnitt werden solche Funktionen systematischer untersucht.
Quadratische Funktionen untersuchen
Wir betrachten Funktionen, in denen die Funktionsvariable quadratisch vorkommt. Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen.
Quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion mit der Funktionsgleichung
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black}x^2 + \color[rgb]{1,0.4,0}{b} \cdot \color{black}x + \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$.
Die Parameter $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}, \color[rgb]{1,0.4,0}{b}, \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$ stehen für reelle Zahlen.
Dabei soll $\color[rgb]{0,0.6,1}{a} \color{black}{\neq 0}$ gelten.
Aufgabe 1
(a)
Überzeuge dich im folgenden Applet, dass die Graphen von quadratischen Funktionen Parabeln sind.
Applet einblenden
Zum Herunterladen: quadratischefunktionen1a.ggb
(b)
Die Lage und Form der Parabel hängt von den Parametern $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}, \color[rgb]{1,0.4,0}{b}, \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$
der Funktionsgleichung in Normalform ab.
Es ist nicht so leicht, diesen Zusammenhang zu beschreiben.
Man betrachtet daher oft eine alternative Beschreibung quadratischer Funktionen. Im nächsten Applet wird die
Funktionsgleichung in Scheitelpunktform zur Beschreibung quadratischer Funktionen benutzt.
Überzeuge dich im Applet, dass man mit diesen Funktionsgleichungen ebenfalls Parabeln erzeugen kann.
Beschreibe auch die Bedeutung der hier benutzten Parameter $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}, \color{red}{x_0}, \color{violet}{y_0}$.
Applet einblenden
Zum Herunterladen: quadratischefunktionen1b.ggb
(c)
Die beiden Darstellungen Normalform
und Scheitelpunktform
sind gleichwertig. Man kann sie ineinander umwandeln.
Davon kannst du dich im nächsten Applet überzeugen.
Applet einblenden
Zum Herunterladen: quadratischefunktionen2b.ggb
Aufgabe 2
Betrachte noch einmal die Darstellung mit Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform.
Das folgende Applet verdeutlicht, wie die Parabel zu einer Scheitelpunktform mit beliebigen Parametern aus der Normalparabel $y = x^2$ entsteht.
Aktiviere hierzu – mit passenden Pausen –
der Reihe nach die Schaltflächen $[\color[rgb]{0,0.6,1}{a}\color{black}]$, $[\color{red}x_0\color{black}]$und $[\color{violet}y_0\color{black}]$
(sofern angezeigt).
Betrachte die folgenden Situationen:
- $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}\color{black} = 1$, $\color{red}x_0\color{black} = 0$, $\color{violet}y_0\color{black}$ beliebig
- $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}\color{black}$ beliebig, $\color{red}x_0\color{black} = 0$, $\color{violet}y_0\color{black} = 0$
- $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}\color{black} = 1$, $\color{red}x_0\color{black}$ beliebig, $\color{violet}y_0\color{black} = 0$
- $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}\color{black}$, $\color{red}x_0\color{black}$, $\color{violet}y_0\color{black}$ beliebig
Applet einblenden
Zum Herunterladen: quadratischefunktionen4.ggb
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion mit der Funktionsgleichung
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black}x^2 + \color[rgb]{1,0.4,0}{b} \cdot \color{black}x + \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$.
Die Parameter $\color[rgb]{0,0.6,1}{a}, \color[rgb]{1,0.4,0}{b}, \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$ stehen für reelle Zahlen.
Dabei soll $\color[rgb]{0,0.6,1}{a} \color{black}{\neq 0}$ gelten.
Beispiele für quadratische Funktionen:
- $f(x) = x^2$
- $f(x) = x^2 + 1$
- $f(x) = x^2 - 2x + 1$
- $f(x) = \dfrac{1}{100}x^2 + \dfrac{3}{10}x$
Das folgende Applet verdeutlicht die Bedeutung der Parameter $a$, $b$ und $c$.
Zum Herunterladen: quadratischefunktionen2b.ggb
Scheitelpunktform
Der Graph einer quadratischen Funktionen
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black}x^2 + \color[rgb]{1,0.4,0}{b} \cdot \color{black}x + \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$
ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(\color{red}{x_0}\color{black}{|}\color{violet}{y_0}\color{black}{)}$.
Die Funktionsgleichung in Normalform
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black}x^2 + \color[rgb]{1,0.4,0}{b} \cdot \color{black}x + \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$
kann man in eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black}{(x -}\color{red}{x_0}\color{black}{)^2 +} \color{violet}{y_0}$
umwandeln.
Dieser kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(\color{red}{x_0}\color{black}{|}\color{violet}{y_0}\color{black}{)}$ direkt entnehmen.
Die folgende Übersicht verdeutlicht die Umwandlung.
| Bezeichnung |
Funktionsgleichung |
Beispiel |
Funktionsgleichung
in Normalform
|
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black}x^2 + \color[rgb]{1,0.4,0}{b} \cdot \color{black}x + \color[rgb]{0.4,0.6,0}{c}$
|
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{0.5} \cdot \color{black}x^2 + \color[rgb]{1,0.4,0}{(-1)} \cdot \color{black}x + \color[rgb]{0.4,0.6,0}{2}$
|
Funktionsgleichung
in Scheitelpunktform
|
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black} \left(x - \underbrace{\dfrac{\color{black}{(-}\color[rgb]{1,0.4,0}{b}\color{black}{)}}{\color{black}{2}\color[rgb]{0,0.6,1}{a}}}_{\color{red}{x_0}} \color{black}\right)^2 + \underbrace{\color[rgb]{0.4,0.6,0}{c} - \dfrac{\color[rgb]{1,0.4,0}{b}\color{black}^2}{\color{black}{4}\color[rgb]{0,0.6,1}{a}}}_{\color{violet}{y_0}}$
|
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{0.5} \cdot \color{black} \left(x - \underbrace{\color{red}{1}}_{\color{red}{x_0}} \color{black}\right)^2 + \underbrace{\color{violet}{1.5}}_{\color{violet}{y_0}}$
|
Die Rolle der Parameter $a, x_0, y_0$ der Scheitelpunktform kann man sich verdeutlichen, indem man eine Normalparabel mit der Gleichung $g(x) = x^2$
in die Scheitelpunktform
$f(x) = \color[rgb]{0,0.6,1}{a} \cdot \color{black} \left(x - \underbrace{\dfrac{\color{black}{(-}\color[rgb]{1,0.4,0}{b}\color{black}{)}}{\color{black}{2}\color[rgb]{0,0.6,1}{a}}}_{\color{red}{x_0}} \color{black}\right)^2 + \underbrace{\color[rgb]{0.4,0.6,0}{c} - \dfrac{\color[rgb]{1,0.4,0}{b}\color{black}^2}{\color{black}{4}\color[rgb]{0,0.6,1}{a}}}_{\color{violet}{y_0}}$
transformiert.
| Parameter |
Deutung |
|
$\color[rgb]{0,0.6,1}{a}$
|
Streckung in $y$-Richtung
|
|
$\color{red}x_0$
|
Verschiebung in $x$-Richtung
|
|
$\color{violet}y_0$
|
Verschiebung in $y$-Richtung
|
Im folgenden Applet wird diese Transformation simuliert. Aktiviere hierzu – mit passenden Pausen –
der Reihe nach die Schaltflächen $[\color[rgb]{0,0.6,1}{a}\color{black}]$, $[\color{red}x_0\color{black}]$ und $[\color{violet}y_0\color{black}]$ (falls angezeigt).
Zum Herunterladen: quadratischefunktionen4.ggb
