Nullstellen - Basisstrategien
Zur Orientierung
Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist eine Zahl (bzw. Stelle) $\textcolor{red}{x}$, die die Bedingung $f(\textcolor{red}{x}) = 0$ erfüllt.
Anschaulich ist eine Nullstelle eine Stelle, an der der Graph der Funktion die $x$-Achse schneidet oder berührt.
Wir stellen hier Strategien zusammen, mit denen man die Nullstellen von quadratischen Funktionen direkt bestimmen kann.
Strategie: Umformung der Nullstellenbedingung
Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f(x) = 0.5x^2 - 2$
Bedingung: $f(x) = 0$
Umformungen:
$\begin{array}{lcll}
0.5x^2 - 2 & = & 0 & | +2 \\
0.5x^2 & = & 0 & | :0.5 \\
x^2 & = & 4 & | \sqrt{} \\
x = -2 & \text{oder} & x = 2
\end{array}$
Nullstellen:
$x_1 = -2$; $x_2 = 2$ $\quad$ (oder in Mengenschreibweise: $\{-2; 2\}$)
Aufgabe 1
(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.
- $f(x) = 1.5x^2 - 1.5$
- $f(x) = x^2 - 2$
- $f(x) = x^2 + 2$
- $f(x) = x^2$
(b) Das Verfahren durch Umformen der Gleichung funktioniert bei quadratischen Funktionen vom Typ $f(x) = ax^2 + c$. Warum funktioniert es nicht so einfach bei einer Funktion wie z.B. $f(x) = x^2 - x + 1$?
Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms durch Ausklammern
Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f(x) = 2x^2 + 4x$
Schritt 1: Umwandlung des Funktionsterms in ein Produkt
$f(x) = 2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$
Schritt 2: Bestimmung der Nullstellen
$f(x) = 0$ $\Leftrightarrow$
$2x(x + 2)$ $\Leftrightarrow$
$2x = 0$ oder $x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow$
$x = 0$ oder $x = -2$
Nullstellen:
$x_1 = -2$; $x_2 = 0$ $\quad$ (oder in Mengenschreibweise: $\{-2; 0\}$)
Aufgabe 2
(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.
- $f(x) = 1.5x^2 - 1.5x$
- $f(x) = x^2 - 2x$
- $f(x) = 3x^2 + 2x$
(b) Das Verfahren durch Ausklammern funktioniert bei quadratischen Funktionen vom Typ $f(x) = ax^2 + bx$. Warum funktioniert es nicht bei einer Funktion wie z.B. $f(x) = x^2 - x + 1$?
Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms mit den binomischen Formeln
Wiederholung - Binomische Formeln
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f(x) = x^2 + 4x + 4$
Schritt 1: Anwendung einer binomischen Formel
$f(x) = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
Schritt 2: Bestimmung der Nullstellen
$f(x) = 0$ $\Leftrightarrow$
$(x + 2)^2=0$ $\Leftrightarrow$
$x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow$
$x = -2$
Nullstellen:
$x_1 = -2$ $\quad$ (oder in Mengenschreibweise: $\{-2\}$)
Aufgabe 3
(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.
- $f(x) = x^2 - 6x + 9$
- $f(x) = x^2 - 4$
- $f(x) = 2x^2 + 4x + 2$
(b) Zeige: Die Nullstellen einer Funktion $f$ mit $f(x) = ax^2 + c$ kann man auch mit der 3. binomischen Formel bestimmen. Welche Voraussetzung muss hierzu erfüllt sein?
Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms mit dem Satz von Vieta
Zur Vorbereitung betrachten wir eine quadratische Funkion $f$ mit $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$. Eine solche Funktion hat die Nullstellen $x_1$ und $x_2$.
Durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms erhält man:
$f(x) = (x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1 \cdot x - x_2 \cdot x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)x + x_1\cdot x_2$
Es gilt also folgender Satz:
Satz von Vieta
Wenn $x_1$ und $x_2$ Nullstellen von $f(x) = x^2 + bx + c$ sind, dann gilt $b = - (x_1+x_2)$ und $c = x_1\cdot x_2$.
Mit diesem Satz kann man oft die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.
Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f(x) = x^2 - 5x + 6$
Ansatz: Gibt es Zahlen $x_1$ und $x_2$ mit:
$f(x) = x^2 - \underbrace{(x_1+x_2)}_{5}x + \underbrace{x_1\cdot x_2}_{6}$
Lösung: Für $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$ gilt:
$x_1 \cdot x_2 = 6$ und $x_1 + x_2 = 5$
Nullstellen:
$x_1 = 2$; $x_2 = 3$ $\quad$ (oder in Mengenschreibweise: $\{2; 3\}$)
Aufgabe 4
(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.
- $f(x) = x^2 - 3x + 2$
- $f(x) = x^2 + 3x + 2$
- $f(x) = x^2 + x - 6$
- $f(x) = x^2 - x - 6$
(b) Begründe: Es ist günstig, bei der Nullstellenbestimmung bei einer Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 + bx + c$ die ganzzahligen Teiler von $c$ im Blick zu haben.
