Punktsteigungsform

Geradengleichungen bestimmen

Im Applet ist der Graph einer linearen Funktion dargestellt.

Zum Herunterladen: graph.ggb

Aufgabe 1

(a) Welche der folgenden Funktionsgleichungen passen zum vorgegebenen Funktiongraphen?

• $f(x) = 0.5x + 1$
• $f(x) = 0.5(x-1) + 1.5$
• $f(x) = 0.5(x-2) + 2$
• $f(x) = 0.5(x+1)$ + 0.5
• $f(x) = 0.5(x+2)$

(b) Gib weitere Funktionsgleichungen an, die zum Graph passen.

(c) Formuliere eine Regel, mit der man weitere Funktionsgleichungen zum Graph erzeugen kann.

Eine verallgemeinerte Geradengleichung herleiten

Die Herleitung wird mit dem folgenden Applet unterstützt.

Zum Herunterladen: steigung4.ggb

Aufgabe 2

(a) Blende zunächst die Geradengleichung in Normalform ein. Begründe: Wenn man die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kennt, dann kann man für jedes beliebige $x$ den Funktionswert $f(x)$ bestimmen.

(b) Blende als nächstes die Herleitung ein. Erläutere anhand des Applets, wie man zur Formel $f(x) - f(x_0) = m \cdot (x - x_0)$ gelangt.

(c) Blende abschließend die Geradengleichung in Punktsteigungsform ein. Erläutere, wie man zu dieser Gleichung gelangt. Begründe: Wenn man die Steigung $m$ und die Koordinaten $(x_0|f(x_0))$ eine Punktes $P_0$ auf Graph $f$ kennt, dann kann man für jedes beliebige $x$ den Funktionswert $f(x)$ bestimmen.

(d) Variiere im Applet die Lage von $P_0$ auf Graph $f$. Beobachte, wie sich hierdurch die Punktsteigungsform verändert.

(e) Begründe (und zeige im Applet), dass die Normalform ein Spezialfall der Punktsteigungsform ist.

Zusammenfassung

Zusammenfassung

Lineare Funktionen stellt man meist mit Funktionsgleichungen der Gestalt $f(x) = mx + b$ dar. Hier ist die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$ gegeben. Eine Funktionsgleichung der Gestalt $f(x) = mx + b$ bezeichnet man als Funktionsgleichung in Normalform.

Oft kommt es vor, dass man von einer linearen Funktion die Steigung $m$ und einen Punkt $P_0$ des Graphen mit den Koordinaten $P_0(x_0|f(x_0))$ kennt. In solchen Situationen beschreibt man die Funktion meist mit einer Funktionsgleichung in Punktsteigungsform. Im folgenden Applet wird erklärt, wie man zu dieser Funktionsgleichung gelangt.

Zum Herunterladen: steigung4b.ggb

Punktsteigungsform einer linearen Funktion

Wenn von einer linearen Funktion die Steigung $\color{blue}{m}$ und ein Punkt $P_0$ des Graphen mit den Koordinaten $P_0(\color{red}{x_0}\color{black}{|}\color{purple}{f(x_0)}\color{black}{)}$ gegeben sind, dann kann man die lineare Funktion mit folgender Funktionsgleichung in Punktsteigungsform beschreiben:

$f(x) = \color{blue}{m}\color{black}{\cdot (x - }\color{red}{x_0}\color{black}{) + }\color{purple}{f(x_0)}$

Beispiel

Betrachte die lineare Funktion $f(x) = 0.5x + 1$. Hier einige Punktsteigungsformen für diese Funktion:

• $P_0(1|1.5)$: $f(x) = 0.5 \cdot (x - 1) + 1.5$
• $P_0(2|2)$: $f(x) = 0.5 \cdot (x - 2) + 2$
• $P_0(-1|0.5)$: $f(x) = 0.5 \cdot (x + 1) + 0.5$
• $P_0(-2|0)$: $f(x) = 0.5 \cdot (x + 2)$
• $P_0(0|1)$: $f(x) = 0.5 \cdot (x - 0) + 1$

Die letzte Punktsteigungsform entspricht der Normalform. Die Normalform stellt demnach einen Spezialfall der Punktsteigungsform dar.