Steigung einer Geraden
Zur Orientierung
Zur Charakterisierung von linearen Funktionen benutzt man den $y$-Achsenabschnitt und die Steigung. In diesem Abschnitt wird der mathematische Steigungsbegriff vertiefend betrachtet.
Steigung von Geraden untersuchen
Die Steigung einer Geraden beschreibt man mit der Änderung der $y$-Werte zur Schrittweite $1$. Mache dir das anhand des folgenden Applets nochmal klar.
Anleitung für das Applet
- Den Punkt $P$ kann man auf der $y$-Achse in eine bestimmte Position setzen.
- Den Punkt $Q$ kann man nur so bewegen, dass die Schrittweite $\Delta x$ immer $1$ beträgt. Die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ wird durch die Änderung $\Delta y$ beschrieben.
Zum Herunterladen: steigung1.ggb
Wir verallgemeinern jetzt die Sichtweise auf die Steigung und benutzen hierzu das etwas veränderte Applet.
Anleitung für das Applet
- Die Punkte $P$ und $Q$ kann man jetzt in beliebige (Gitter-) Positionen setzen.
- Die Punkte $P$ und $Q$ legen eine Gerade fest, die man mit einer linearen Funktion $f$ beschreiben kann (sofern sie nicht dieselbe $x$-Koordinate haben).
Die Punkte $P$ und $Q$ legen zusätzlich ein Steigungsdreieck mit einer Schrittweite $\Delta x$ und einem Zuwachs $\Delta y$ fest.
Zum Herunterladen: steigung2.ggb
Aufgabe 1
(a) Setze die Punkte $P$ und $Q$ so, dass $\Delta x = 1$ gilt. Mache dir nochmal klar, wo du die Steigung am Steigungsdreieck ablesen kannst.
(b) Setze die Punkte $P$ und $Q$ so, dass für die Schrittweite $\Delta x = 2$ gilt. Beschreibe, wie du nun am Steigungsdreieck die Steigung ermitteln kannst.
(c) Setze die Punkte $P$ und $Q$ so, dass für die Schrittweite $\Delta x = 3$ gilt. Beschreibe, wie du die Änderung $\Delta y$ einstellen musst, um die Steigung $m = 1.5$ zu erhalten.
(d) Prüfe, ob der Zusammenhang $\text{Steigung} = \dfrac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}$ auch für negative Schrittweiten gilt.
Aufgabe 2
Die Punkte $P$ und $Q$ werden jetzt mit ihren Koordinaten gegeben.
(a) Ermittle die Steigung der Geraden für die Punkte $P(2|1)$ und $Q(4|5)$ sowie $P(-1|2)$ und $Q(4|4.5)$. Beschreibe, wie man rechnerisch vorgehen kann.
(b) Betrachte jetzt die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ mit beliebigen Koordinaten (so dass aber $x_P \neq x_Q$ gilt). Gib eine Formel an, mit der man die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ berechnen kann.
$m = \dfrac{\dots}{\dots}$
