Erarbeitung - Koffein-Folge

Eine Folge zur Klärung verwenden

Zur Klärung der gesundheitlichen Risiken beim Kaffeetrinken betrachten wir folgende Situation:

Wir beschreiben die Koffeinentwicklung im Körper mit einer Folge $\left( a_n \right)$ mit folgender Bedeutung.

$a_n$: Menge an Koffein [in mg] im Körper unmittelbar nach der $n$-te Tasse Kaffee (für $n = 1; 2; 3; ...$)

Aufgabe 1

(a) Berechne die Folgenglieder $a_n$ für $n = 1; 2; ...; 10$.

(b) Zeichne den Graph zur Folge $\left( a_n \right)$. Erstelle eine Vermutung auf, wann die Grenze von 500 mg erreicht wird.

Aufgabe 2

(a) Beschreibe die Folge mit einer rekursiven Berechnungsvorschrift. Nutze das Applet zur Kontrolle.

(b) Bestimme experimentell das Verhalten der Folgenglieder $a_n$, wenn $n$ immer größer wird. Nutze hierzu das Applet.

(c) Hast du einer Erklärung für dieses Verhalten? Überlege dir, wie sich eine Tasse Kaffee auf den Körper auswirken würde, wenn sich im Körper bereits 180 mg Koffein befinden. Überlege dir auch, wie sich eine Tasse Kaffee auf den Körper auswirkt, wenn sich im Körper etwas weniger als 180 mg Koffein befinden.

Aufgabe 3

Wir ändern das Verhalten beim Kaffeetrinken ab.

• Eine Person trinkt alle 2 Stunden eine Tasse Kaffee (zur Vereinfachung der mathematischen Überlegungen also tagsüber und auch nachts).
• Jede Tasse Kaffee enthält 90mg Koffein.
• Der Koffeingehalt im Körper verringert sich nach 2 Stunden um 30% (falls in dieser Zeit kein neues Koffein hinzugeführt wird).

Die Koffeinmenge im Körper wird wieder mit einer Folge beschrieben:

$a_n$: Menge an Koffein [in mg] im Körper unmittelbar nach der $n$-te Tasse Kaffee (für $n = 1; 2; 3; ...$)

(a) Begründe, dass die Koffeinfolge jetzt so beschrieben werden kann.

$a_1 = 90$
$a_n = 0.7 \cdot a_{n-1} + 90$ für $n = 2; 3; ...$

(b) Untersuche das Grenzverhalten dieser Folge. Stelle eine Vermutung über das Grenzverhalten der Folge auf.