Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir führen hier einen Begriff ein, um ein kontiuierliches bzw. sprunghaftes Änderungsverhalten bei Funktionen präzise zu beschreiben.
Kontinuierliche Veränderung beschreiben
Wir beginnen mit dem kontinuierlichen Verhalten. Die Übersicht zeigt zwei Funktionen mit einem solchen Verhalten.
kontiunierliche (stetige) Veränderung bei $a$ |
kontiunierliche (stetige) Veränderung bei $a$ |
|---|---|
| Funktion: $f(x) = x+1$; Stelle: $a = 1$ | Funktion: $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{wenn } x \leq 1 \\ 2 & \text{wenn } x > 1 \end{cases}$; Stelle: $a = 1$ |
| Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f(x)$ bei $f(a)$. | Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f(x)$ bei $f(a)$. |
| Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert und stimmt mit $f(a)$ überein. | Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert und stimmt mit $f(a)$ überein. |
Aufgabe 1
Verdeutliche in den Applets das Verhalten der Funktionen an der Stelle $a$. Bewege hierzu die Stelle $x$ über die Stelle $a$ hinweg.
Kontinuiertiche (stetige
) Veränderung von Funktionswerten an einer Stelle $a$
Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f(x)$ bei $f(a)$ bzw.
der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert und stimmt mit $f(a)$ überein.
Sprunghafte Veränderung beschreiben
Wir betrachten jetzt Funktionen mit einem sprunghafte Verhalten. Die Übersicht zeigt zwei Funktionen mit einem solchen Verhalten.
sprunghafte (unstetige) Veränderung bei $a$ |
sprunghafte (unstetige) Veränderung bei $a$ |
|---|---|
| Funktion: $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{wenn } x \leq 1 \\ 3 & \text{wenn } x > 1 \end{cases}$; Stelle: $a = 1$ | Funktion: $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{wenn } x \neq 1 \\ 3 & \text{wenn } x = 1 \end{cases}$; Stelle: $a = 1$ |
| Wenn $x$ sich der Stelle $a$ von links bzw. rechts annähert, dann stabilisiert sich $f(x)$ bei unterschiedlichen Werten. | Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f(x)$ bei einer Zahl, aber nicht bei $f(a)$. |
| Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert hier nicht. | Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert hier zwar, stimmt aber nicht mit $f(a)$ überein. |
Aufgabe 2
Verdeutliche in den Applets, dass man ein sprunghaftes Verhalten so erfassen kann. Bewege hierzu die Stelle $x$ über die Stelle $a$ hinweg.
Sprunghafte (unstetige
) Veränderung von Funktionswerten an einer Stelle $a$
Möglichkeit 1: Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert nicht.
Möglichkeit 2: Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert zwar, stimmt aber nicht mit $f(a)$ überein.
Das Verhalten an Definitionslücken beachten
Eine Sonderrolle spielen die Definitionslücken bei Funktionen. Die Übersicht zeigt zwei Funktionen mit solchen Definitionslücken.
| Definitionslücke bei $a$ | Definitionslücke bei $a$ |
|---|---|
| Funktion: $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$; Stelle: $a = 1$ | Funktion: $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{wenn } x \text{ < } 1 \\ 3 & \text{wenn } x > 1 \end{cases}$; Stelle: $a = 1$ |
| Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert hier. Es ist jedoch kein Abgleich mit $f(a)$ möglich, da die Funktion $f$ an der Stelle $a$ nicht definiert ist. | Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert hier nicht. Zudem ist kein Abgleich mit $f(a)$ möglich, da die Funktion $f$ an der Stelle $a$ nicht definiert ist. |
Aufgabe 3
Verdeutliche in den Applets, dass man an einer Definitionslücke nicht von einem kontinuierlichen oder sprunghaften Verhalten sprechen kann.
Veränderung von Funktionswerten an einer Definitionslücke $a$
An einer Definitionslücke $a$ existiert der Funktionswert $f(a)$ nicht. Es ist somit auch kein Abgleich von $f(a)$ mit $f(x)$ für ein $x$ nahe bei $a$ möglich.
Den Stetigkeitsbegriff präzisieren
Mit dem Begriff Stetigkeit
erfasst man in der Mathematik, ob sich die Funktionswerte einer Funktion kontinuierlich oder sprunghaft
verändern. Zur Präzisierung dieses Begriffs benutzen wir die oben eingeführten Beschreibungen von kontinuierlichem und sprunghaften Verhalten
einer Funktion an einer Stelle $a$.
Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle
Betrachte eine Stelle $a$, an der die Funktion $f$ definiert ist.
Die Funktion $f$ ist stetig an der Stelle $a$ genau dann wenn gilt: Der Grenzwert $\lim \limits_{x \to a} f(x)$ existiert und stimmt mit $f(a)$ überein.
Das bedeutet inhaltlich: Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f(x)$ bei $f(a)$.
Aufgabe 4
Überprüfe dein Verständnis.
Entscheide jeweils, ob die Funktion $f$ stetig an der Stelle a stetig ist.
Als mögliche Antworten sind ja
(kurz: j), nein
(kurz: n) und keine Aussage möglich
(kurz: k) vorgesehen.
| Funktion / Stelle | Applet | (j/n/k) |
|---|---|---|
|
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ x+1 & \text{wenn } x >= 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$ |
||
|
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ x+0.5 & \text{wenn } x >= 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$ |
||
|
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ 0.5 & \text{wenn } x = 0 \\ x+1 & \text{wenn } x > 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$ |
||
|
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ x+1 & \text{wenn } x > 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$ |
