Erarbeitung - Rechnerische Bestimmung
Zur Orientierung
Wir nutzen hier Termumformungen, um Grenzwerte bei komplexeren Folgen bestimmen zu können.
Einen Grenzwert rechnerisch bestimmen
Der Folgengleichung $a_n = \dfrac{n^2+1}{2n^2+n}$ sieht man den vermuteten Grenzwert $g = 0.5$ nicht direkt an. Im vorliegenden Beispiel hilft es, den Folgenterm umzuformen.
$a_n = \dfrac{n^2+1}{2n^2+n} = \dfrac{n^2 \cdot (1+\frac{1}{n^2})}{n^2 \cdot (2+\frac{1}{n})} = \dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}$
Aufgabe 1
(a) Erkläre die Umformungen des Folgenterms.
(b) Begründe mit Hilfe des umgefomten Terms $a_n = \dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}$, dass die Folge $(a_n)$ den Grenzwert $g = 0.5$ hat.
(c) Warum war es günstig, im Ausgangsterm jeweils die höchste Potenz $n^2$ auszuklammern? Erläutere die Strategie.
Aufgabe 2
Bestimme analog das Grenzverhalten bei diesen Folgen:
(a) $a_n = \dfrac{2n^3-1}{n^3+2n^2}$
(b) $b_n = \dfrac{n+1}{n^2+n-1}$
(c) $c_n = \dfrac{n^3+n^2}{n^4+2}$
(d) $d_n = \dfrac{n^4+2}{n^3+n^2}$
Aufgabe 3
Wie verhält sich die Folge, wenn ...
- die höchste Potenz im Nenner vorkommt?
- die höchste Potenz im Zähler und Nenner vorkommt?
- die höchste Potenz im Zähler vorkommt?
Aufgabe 4
Konstruiere selbst Folgen, die den Grenzwert 4 bzw. -1 bzw. 0 haben.
