Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt haben wir Stetigkeit einer Funktion lokal an einer Stelle betrachtet. Jetzt weiten wir den Blick und betrachten Stetigkeit einer Funktion globaler.
Globale Stetigkeit untersuchen
Globale Stetigkeit bedeutet Stetigkeit an jeder Stelle aus einer vorgegebenen Menge.
Stetigkeit einer Funktion
Die Funktion $f$ ist stetig in einem Intervall $I$ genau dann, wenn $f$ an jeder Stelle $a$ aus $I$ stetig ist.
Die Funktion $f$ ist stetig genau dann, wenn $f$ an jeder Stelle $a$ aus der Definitionsmenge der Funktion stetig ist.
Aufgabe 1
Verdeutliche in den Applets, dass die beiden Funktionen stetig sind. Beachte: Die Stelle $a$ auf der $x$-Achse kann man hin und her bewegen.
| stetige Funktion | stetige Funktion |
|---|---|
| Funktion: $f(x) = x+1$; Stelle: $a$ ist eine beliebige reelle Zahl | Funktion: $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{wenn } x \text{ < } 1 \\ 3 & \text{wenn } x > 1 \end{cases}$; Stelle: $a \neq 1$ |
Aufgabe 2
Verdeutliche in den Applets, dass die beiden Funktionen nicht stetig sind. Beachte: Die Stelle $a$ auf der $x$-Achse kann man hin und her bewegen.
| nicht-stetige Funktion | nicht-stetige Funktion |
|---|---|
| Funktion: $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{wenn } x \leq 1 \\ 3 & \text{wenn } x > 1 \end{cases}$; Stelle: $a = 1$ | Funktion: $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{wenn } x \neq 1 \\ 3 & \text{wenn } x = 1 \end{cases}$; Stelle: $a = 1$ |
Nullstellen bei stetigen Funktionen
Stetige Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Wir verdeutlichen die Relevanz anhand eines Satzes über Nullstellen.
Aufgabe 3
(a) Probiere, in den beiden Applets durch Verschieben des Graphen mit dem grauen Punktes ${\textcolor{gray}\bullet}$ sowie der Stellen ◆ und ◆ folgende Situation herzustellen:
- $f(a) \text{ < } 0$
- $f(b) > 0$
- Graph $f$ schneidet nicht die $x$-Achse.
Warum klappt das bei der vorliegenden nicht-stetigen Funktion? Warum klappt das jedoch nicht bei der stetigen Funktion?
| stetige Funktion | nicht-stetige Funktion |
|---|---|
(b) Verdeutliche die Rolle der Stetigkeit im folgenden Satz anhand der Applets.
Nullstellensatz für stetige Funktionen
Betrachte eine Funktion $f$, die im Intervall $I = [a; b]$ stetig ist. Für eine solche Funktion gilt dann:
Wenn $f(a) \text{ < } 0$ und $f(b) > 0$, dann gibt es eine Stelle $x_0$ im Intervall $I$ mit $f(x_0) = 0$.
Wenn $f(a) > 0$ und $f(b) \text{ < } 0$, dann gibt es eine Stelle $x_0$ im Intervall $I$ mit $f(x_0) = 0$.
(c) Warum betrachtet man im Nullstellensatz ein Intervall (d.h., einen $x$-Werte-Bereich ohne Lücken)? Erkläre die Relevanz dieser Voraussetzung anhand der Beispiele in der folgenden Übersicht.
| stetige Funktion | stetige Funktion |
|---|---|
