Überprüfung - Grenzwerte bei Funktionen
Aufgabe 1: Grenzwerte für $x \rightarrow \pm\infty$
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 3 + \dfrac{2}{x^2+1}$. Ziel ist es, das Verfalten von $f(x)$ für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ zu bestimmen.
(a) Erschließe aus dem Funktionsterm das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$. Spiele hierzu in Gedanken durch, wie sich $f(x)$ verhält, wenn $x \rightarrow +\infty$ bzw. $x \rightarrow -\infty$.
(b) Benutze Testeinsetzungen, um das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ zu bestätigen. Berechne die Funktionswerte mit dem Taschenrechner.
| $x$ | $\dots$ | $-1000$ | $-100$ | $-10$ | $\dots$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $\dots$ |
| $f(x)$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
(c) Überprüfe die Aussagen zum Grenzverhalten mit dem folgenden Applet.
(d) Dokumentiere das Ergebnis mit einer geeigneten Schreibweise.
Aufgabe 2: Grenzwert für $x \rightarrow a$
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$. Ziel ist es, das Verfalten von $f(x)$ für $x \rightarrow 0$ zu bestimmen.
(a) Erschließe aus dem Funktionsterm das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ bzw. $x \text{ < } 0$. Spiele hierzu in Gedanken durch, wie sich $f(x)$ verhält, wenn $x$ sich der Zahl $a = 0$ von rechts bzw. links annähert.
(b) Benutze Testeinsetzungen, um das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ bzw. $x \text{ < } 0$ zu bestätigen. Berechne die Funktionswerte mit dem Taschenrechner.
| $x$ | $-0.1$ | $-0.01$ | $-0.001$ | $\dots$ | $0.001$ | $0.01$ | $0.1$ |
| $f(x)$ | $\dots$ |
(c) Überprüfe die Aussagen zum Grenzverhalten mit dem folgenden Applet.
(d) Formuliere die Ergebnisse:
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
