Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir untersuchen hier folgende Fragestellung: Stabilisieren sich die Funktionswerte $f(x)$, wenn $x$ sich einer Stelle $a$ annähert.
Beispiel 1
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$.
Aufgabe 1
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 0$ nicht definiert. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert. Verwende zur Verdeutlichung auch den beweglichen Punkt ♦ auf der $x$-Achse. Nutze auch die Schaltflächen [$+$] und [$-$], um in den betrachteten $x$-Werte-Bereich rein- und rauszuzoomen.
Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Wenn man im Applet den beweglichen Punkt ♦ an die Stelle $x = 0$ bewegt, wird $f(0) = \infty$ angezeigt. Beurteile diese Aussage von GeoGebra.
(b) Oft ist es möglich und sinnvoll, das Verhalten einer Funktion mit Testeinsetzungen zu ermitteln. Man betrachtet hierzu konkrete $x$-Werte, die immer näher an die Stelle $a$ heranrücken, und berechnet die zugehörigen Funktionswerte. Im Applet werden Nullfolgen zur Erzeugung solcher $x$-werte verwendet. Für eine Annäherung von rechts ist die Nullfolge $h_n = 0.1^n$ bereits vorgegeben. Mit den Schaltflächen [$x_1$] und $[x_{n+1}]$ kann man die $x$-Werte $x_n = a + h_n$ durchlaufen und dabei die zugehörigen Funktionswerte erzeugen. Verwende zur Annäherung von links z.B. die Nullfolge $h_n = -0.1^n$. Nutze dieses experimentelle Vorgehen, um die Beobachtung aus Aufgabenteil (a) zu bestätigen.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
Beispiel 2
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{x}{|x|}$.
Aufgabe 2
(a) Die Funktion $f$ ist ebenfalls an der Stelle $a = 0$ nicht definiert. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert. Verwende zur Verdeutlichung auch den beweglichen Punkt ♦ auf der $x$-Achse. Verwende auch die Schaltflächen [$+$] und [$-$], um in den betrachteten $x$-Werte-Bereich rein- und rauszuzoomen.
Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b) Verdeutliche das in (a) beschriebene Grenzverhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow 0$ mit Hilfe von Testeinsetzungen. Verwende hierzu passende Nullfolgen.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
Beispiel 3
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$.
Aufgabe 3
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 1$ nicht definiert. Das sieht man dem Graph erst einmal nicht an. Man merkt es erst, wenn man den beweglichen Punkt ♦ an die Stelle $x = 1$ bewegt. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert. Verwende auch die Schaltflächen [$+$] und [$-$], um in den betrachteten $x$-Werte-Bereich rein- und rauszuzoomen.
Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 1$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 1$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b) Verdeutliche mit Hilfe des Applets: Egal, mit welcher Nullfolge man die $x$-Werte erzeugt, die zugehörigen Funktionswerte nähern sich immer der Zahl $g = 2$ an. Zur Verdeutlichung kann du z.B. die Nullfolgen $h_n = 0.1^n$, $h_n = -0.1^n$ und $h_n = (-0.1)^n$ verwenden.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
(c) Erkläre das Verhalten der Funktionswerte bei der Annäherung von $x$ an die Stelle $a = 1$ mit folgender Umformung:
$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x+1)\cdot (x-1)}{x - 1} \stackrel{x \neq 1}{=} x+1$
Beispiel 4
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \sin \left( \frac{1}{x} \right)$.
Aufgabe 4
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 0$ nicht definiert. Das sieht man dem Graph nicht an. Man merkt es erst, wenn man den beweglichen Punkt ♦ an die Stelle $x = 0$ bewegt. Am Graph kann man beobachten, dass die Funktionswerte $f(x)$ zwischen $-1$ und $1$ hin und her pendeln – und das immer öfter, je mehr man sich der Stelle $a = 0$ annähert. Das sieht man, wenn man mit den Schaltflächen [$+$] und [$-$] in den betrachteten $x$-Werte-Bereich rein- und rauszoomt.
(b)
Untersuche das in (a) beobachtete chaotische
Grenzverhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow 0$ mit Hilfe von Testeinsetzungen.
Verwende hierzu passende Nullfolgen.
Zeige hiermit, dass man im vorliegenden Beispiel auch mit dem experimentellen Vorgehen zu keinen Grenzwertaussagen gelangt.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \;?$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \;?$.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
Beispiel 5
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion.
Aufgabe 5
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 0$ definiert. Das sieht man dem Graph nicht an. Man merkt es aber, wenn man den beweglichen Punkt ♦ an die Stelle $x = 0$ bewegt. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert.
Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b) Betrachte die Funktion $f$ auch an einer Stelle $a \neq 0$; z.B. $a = 1$ oder $a = -1$. Verdeutliche mit Hilfe des Applets:
Für jede Stelle $a \neq 0$ gilt.
Für $x \rightarrow a$ mit $x > a$ gilt $f(x) \rightarrow f(a)$.
Für $x \rightarrow a$ mit $x \text{ < } a$ gilt $f(x) \rightarrow f(a)$.
