Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir untersuchen hier folgende Fragestellung: Stabilisieren sich die Funktionswerte $f(x)$, wenn $x$ sich einer Stelle $a$ annähert. Dabei betrachten wir Stellen $a$, an denen die Funktion nicht definiert ist.
Beispiel 1
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{1}{x}$.
Aufgabe 1
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 0$ nicht definiert. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert. Verwende zur Verdeutlichung auch den beweglichen Punkt ♦ auf der $x$-Achse. Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b) Zur systematischen Annäherung von $x$ an die Stelle $a$ verwenden wir Nullfolgen. Im Applet ist für die Annäherung von rechts die Nullfolge $h_n = 0.1^n$ bereits vorgegeben. Mit den Schaltflächen [$x_1$] und $[x_{n+1}]$ kann man die $x$-Werte $x_n = a + h_n$ durchlaufen und dabei die zugehörigen Funktionswerte erzeugen. Verwende zur Annäherung von links z.B. die Nullfolge $h_n = -0.1^n$. Nutze dieses experimentelle Vorgehen, um die Beobachtung aus Aufgabenteil (a) zu bestätigen.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
Beispiel 2
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{x}{|x|}$.
Aufgabe 2
(a) Die Funktion $f$ ist ebenfalls an der Stelle $a = 0$ nicht definiert. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert. Verwende zur Verdeutlichung auch den beweglichen Punkt ♦ auf der $x$-Achse. Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b) Zur systematischen Annäherung von $x$ an die Stelle $a$ verwenden wir Nullfolgen. Im Applet ist für die Annäherung von rechts die Nullfolge $h_n = 0.1^n$ bereits vorgegeben. Mit den Schaltflächen [$x_1$] und $[x_{n+1}]$ kann man die $x$-Werte $x_n = a + h_n$ durchlaufen und dabei die zugehörigen Funktionswerte erzeugen. Verwende zur Annäherung von links z.B. die Nullfolge $h_n = -0.1^n$. Nutze dieses experimentelle Vorgehen, um die Beobachtung aus Aufgabenteil (a) zu bestätigen.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
Beispiel 3
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$.
Aufgabe 3
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 1$ nicht definiert. Das sieht man dem Graph erst einmal nicht an. Man merkt es erst, wenn man den beweglichen Punkt ♦ an die Stelle $x = 1$ bewegt. Am Graph kann man beobachten, wie sich die Funktionswerte $f(x)$ verhalten, wenn $x$ sich von rechts bzw. von links der Stelle $a$ annähert. Ergänze die folgenden Beschreibungen.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b) Zur systematischen Annäherung von $x$ an die Stelle $a$ verwenden wir Nullfolgen. Im Applet ist für die Annäherung von rechts die Nullfolge $h_n = 0.1^n$ bereits vorgegeben. Mit den Schaltflächen [$x_1$] und $[x_{n+1}]$ kann man die $x$-Werte $x_n = a + h_n$ durchlaufen und dabei die zugehörigen Funktionswerte erzeugen. Verwende zur Annäherung von links z.B. die Nullfolge $h_n = -0.1^n$. Nutze dieses experimentelle Vorgehen, um die Beobachtung aus Aufgabenteil (a) zu bestätigen.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
(c) Erkläre das Verhalten der Funktionswerte bei der Annäherung von $x$ an die Stelle $a$ mit folgender Umformung:
$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x+1)\cdot (x-1)}{x - 1} \stackrel{x \neq 1}{=} x+1$
Beispiel 4
Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \sin \left( \frac{1}{x} \right)$.
Aufgabe 4
(a) Die Funktion $f$ ist an der Stelle $a = 0$ nicht definiert. Das sieht man dem Graph erst einmal nicht an. Man merkt es erst, wenn man den beweglichen Punkt ♦ an die Stelle $x = 0$ bewegt. Am Graph kann man beobachten, dass die Funktionswerte $f(x)$ zwischen $-1$ und $1$ hin und her pendeln – und das immer öfter, je mehr man sich der Stelle $a = 0$ annähert. Eine Verhaltensbeschreibungen ist hier erst einmal nicht möglich.
(b) Zur systematischen Annäherung von $x$ an die Stelle $a$ verwenden wir Nullfolgen. Im Applet ist für die Annäherung von rechts die Nullfolge $h_n = 0.1^n$ bereits vorgegeben. Mit den Schaltflächen [$x_1$] und $[x_{n+1}]$ kann man die $x$-Werte $x_n = a + h_n$ durchlaufen und dabei die zugehörigen Funktionswerte erzeugen. Verwende zur Annäherung von links z.B. die Nullfolge $h_n = -0.1^n$. Überprüfe selbst, dass man mit diesem experimentellen Vorgehen im vorliegenden Beispiel zu keinen Grenzwertaussagen gelangt.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \;?$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \;?$.
Beachte: Die im Applet berechneten $x$-Werte und Funktionswerte sind ggf. gerundete Werte (mit maximal 10 Nachkommastellen). Die angezeigten Werte geben also nicht immer die genauen Werte wider.
