Einstieg - Stabilisierung von Folgengliedern
Zur Orientierung
Wir starten hier mit Ergebnissen aus dem vorangehenden Erkundungskapitel.
In diesem Kapitel lösen wir uns vom Kontext Koffein-Folge
und betrachten das Stabilisierungsverhalten von beliebigen Folgen.
Das Grenzverhalten der Koffein-Folge
Im letzten Abschnitt wurde die Koffein-Folge untersucht, die so festgelegt ist: $a_n$ beschreibt die Menge an Koffein [in mg] im Körper unmittelbar nach der $n$-te Tasse Kaffee (für $n = 1; 2; 3; ...$).
Das Applet zeigt, wie man die Folgenglieder $a_1; a_2; ...$ (bis $a_{50}$) rekursiv berechnen kann.
Zum Herunterladen: koffeinfolge_rekursiv.ggb
Der Graph der Folge verdeutlicht das Stabilisierungsverhalten der Folge.
Grenzverhalten beschreiben
Wir führen jetzt Begriffe und Schreibweisen ein, um dieses Stabilisierungsverhalten zu beschreiben.
Grenzwert einer Folge
Eine Folge $\left( a_n \right)$ heißt konvergent genau dann, wenn sich die Folgenglieder mit wachsender Platznummer bei einer festen reellen Zahl $g$ stabilisieren. Diese Zahl $g$ nennt man dann Grenzwert der Folge.
Eine Folge $\left( a_n \right)$ heißt divergent genau dann, wenn sie nicht konvergent ist (bzw. keinen Grenzwert hat).
Wenn eine Folge $\left( a_n \right)$ den Grenzwert $g$ hat, dann beschreiben wir dieses Grenzverhalten informell mit $a_n \rightarrow g$ (für $n \rightarrow \infty$) oder ganz formal mit dieser Schreibweise:.
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = g$
Gelesen wird das so: "Der Limes (bzw. Grenzwert) von $a_n$ für $n$ gegen Unendlich ist gleich $g$".
Aufgabe 1
Benutze die Begriffe, um das Stabilisierungsverhalten der Koffein-Folge zu beschreiben.
Zur Orientierung
Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Stabilisierungsverhalten bzw. Grenzverhalten bei weiteren Folgen zu untersuchen.
