Vertiefung - Grenzwertnachweis
Zur Orientierung
Mit einer Grenzwertdefinition ist man in der Lage, Grenzwerte präzise nachzuweisen. Hierzu muss man zeigen, dass die Grenzwertbedingung erfüllt ist. Da die Grenzwertbedingung komplex ist, sind solche Grenzwertnachweise in der Regel auch komplex. Wir verdeutlichen hier das Vorgehen anhand eines einfachen Beispiels.
Einen Grenzwertnachweis führen
Betrachte die im Applet vorgegebene Folge.
Zum Herunterladen: grenzwertdefinition.ggb
Bei einem Grenzwertnachweis muss man zeigen, dass folgende Grenzwertbedingung erfüllt ist:
Grenzwertbedingung
Für jede $\epsilon$-Umgebung gibt es eine Platznummer $n_0$ derart, dass alle Folgenglieder der Restfolge ab $n_0$ in der $\epsilon$-Umgebung um $g$ liegen.
Die Ergebnisse der folgenden Überlegungen werden in eine Tabelle eingetragen.
| vorgegebener Abstand $\epsilon$ | Mindestplatznummer $n_0$ |
|---|---|
| $0.5$ | $5$ |
| $0.4$ | |
| $0.25$ | |
| $0.1$ | |
| $0.01$ |
Aufgabe 1
(a) In der Tabelle ist bereits eine Zeile ausgefüllt. Verdeutliche die Werte anhand des Applets.
(b) Nutze das Applet, um die $n_0$-Werte für $\epsilon = 0.4$ und $\epsilon = 0.25$ zu bestimmen.
(c) Die $n_0$-Werte für $\epsilon = 0.1$ und $\epsilon = 0.01$ kann man nicht mehr im Applet ablesen. Die musst du rechnerisch (durch Probieren oder Auflösen einer Ungleichung) bestimmen.
Aufgabe 2
(a) Begründe: Für einen beliebigen Abstand $\epsilon > 0$ muss $n_0$ folgende Bedingung erfüllen:
$\dfrac{1}{\sqrt{n_0}} \text{ < } \epsilon$ bzw. $n_0 > \sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}}$
(b) Begründe: Für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $n_0$, das die Bedingung $\dfrac{1}{\sqrt{n_0}} \text{ < } \epsilon$ erfüllt.
