Vertiefung - Grenzwertsätze
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du intuitiv bereits einen Grenzwertsatz bei der Bestimmung von Grenzwerten benutzt. In diesem Abschnitt machen wir diese Argumentation transparent.
Eine Argumentation analysieren
Wir betrachten noch einmal die Grenzwertbestimmung aus dem letzten Abschnitt.
Die Folge $(a_n)$ mit $a_n = \dfrac{n^2+1}{2n^2+n}$ hat den Grenzwert $g = 0.5$. Um das einzusehen, haben wir den Folgenterm umgeformt:
$a_n = \dfrac{n^2+1}{2n^2+n} = \dfrac{n^2 \cdot (1+\frac{1}{n^2})}{n^2 \cdot (2+\frac{1}{n})} = \dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}$
Man sieht jetzt: Die Zählerfolge $\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$ konvergiert gegen den Grenzwert $1$, die Nennerfolge $\left(2+\frac{1}{n}\right)$ gegen den Grenzwert $2$.
Es ist plausibel, dass die Bruchfolge $\left(\dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}\right)$ dann gegen den Grenzwert $\dfrac{1}{2}$ konvergiert. Hier benutzen wir einen Zusammenhang, der allgemein im folgenden Grenzwertsatz formuliert wird.
Grenzwertsätze
Wenn die Folge $(a_n)$ den Grenzwert $a$ hat und die Folge $(b_n)$ den Grenzwert $b$ hat, dann gilt:
- Die Folge $(a_n+b_n)$ hat den Grenzwert $\dots$.
- Die Folge $(a_n-b_n)$ hat den Grenzwert $\dots$.
- Die Folge $(a_n \cdot b_n)$ hat den Grenzwert $\dots$.
- Die Folge $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ hat den Grenzwert $\dots$ (sofern $b \neq 0$ und $b_n \neq 0$ gilt).
Aufgabe 1
(a) Ergänze die Grenzwerte $\dots$ in den Grenzwertsätzen.
(b) Warum sind die Aussagen in den Grenzwertsätzen plausibel. Argumentiere bei einem Satz inhaltlich mit Stabilisierungseffekten.
(c) Wir verzichten hier darauf, die Sätze formal zu beweisen. Erläutere aber kurz, wie man vorgehen müsste.
