Einstieg - Präzisierungsansatz
Zur Orientierung
Wir gehen von einem intuitiven Grenzwertverständnis aus.
Intuitives Grenzwertverständnis
Bei einer konvergenten Folge stabilisieren sich die Folgenglieder.. Sie liegen mit wachsender Platznummer nahe am Grenzwert.
Zur Präzisierung des Grenzwertbegriffs müssen die Umschreibungen die Folgenglieder stabilisieren sich
und
mit wachsender Platznummer liegen die Folgenglieder nahe am Grenzwert
noch exakt festgelegt werden.
$\epsilon$-Umgebung um $g$
Zur Erfassung des Aspekts nahe am Grenzwert
führen wir die $\epsilon$-Umgebung um eine Zahl $g$ ein:
$\epsilon$-Umgebung
Wenn $g$ eine beliebige reelle Zahl ist und $\epsilon$ eine positive reelle Zahl ist, dann versteht man unter der $\epsilon$-Umgebung von $g$ die Menge aller Zahlen, die einen Abstand zu $g$ haben, der kleiner als $\epsilon$ ist. Das ist also der Zahlenbereich zwischen $g - \epsilon$ und $g + \epsilon$.
Im folgenden Applet wird eine solche $\epsilon$-Umgebung um einen vermuteten Grenzwert $g$ mit einem $\epsilon$-Streifen um $g$ veranschaulicht. Die grün eingefärbte Halbgerade verdeutlicht den vermuteten Grenzwert $g$. Die beiden blau eingefärbten Halbgeraden befinden sich im Abstand $\expsilon$ zur grün eingefärbten Halbgerade und begrenzen den $\epsilon$-Streifen um $g$. Wenn der Punkt zu einem Folgenglied $a_n$ innerhalb des $\epsilon$-Streifens um $g$ liegt, dann beträgt der Abstand des Folgenglieds $a_n$ zum potentiellen Grenzwert $g$ weniger als $\epsilon$, das Folgenglied $a_n$ liegt dann also in der $\epsilon$-Umgebung um $g$.
Zum Herunterladen: raucher1_mit_epsilonumgebung.ggb
Aufgabe 1
Im Applet sind Punkte, die im $\epsilon$-Streifen liegen (bzw. Folgenglieder, die nahe am Grenzwert liegen) blau eingefärbt, die
anderen Punkte (bzw. Folgenglieder) sind rot eingefärbt.
Beobachte, wie sich die Färbung der Punkte verändert, wenn man $\epsilon$ vergrößert oder verkleinert.
Erkläre, wie man mit Hilfe eines $\epsilon$-Streifens die Umschreibung die Folgenglieder liegen maximal $0.2$ vom Grenzwert entfernt
beschreiben kann.
Restfolge ab der Platznummer $n_0$
Zur Erfassung des Aspekts mit wachsender Platznummer liegen die Folgenglieder nahe am Grenzwert
führen wir zusätzlich zur $\epsilon$-Umgebung eine Mindestplatznummer $n_0$ ein:
Ab der Platznummer $n_0$ müssen alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g$ liegen.
Zum Herunterladen: raucher1_mit_epsilonumgebung_und_platznummern0.ggb
Aufgabe 2
Im Applet ist der Bereich des $\epsilon$-Streifens ab der Platznummer $n_0$ gelb hervorgehoben. Die Platznummer $n_0$ ist im Applet bereits so eingestellt, dass alle Punkte zu den Folgengliedern ab der Platznummer $n_0$ in diesem Bereich liegen.
Gib jetzt $\epsilon = 0.1$ vor. Stelle $n_0$ mit dem zugehörigen Punkt ▴ auf der $x$-Achse passend ein. Vergewissere dich, dass ab der Platznummer $n_0$ alle Folgengliederpunkte im $\epsilon$-Streifen liegen. Benutze hierzu den Button ▸ zum Vergrößern der Platznummern.
Zielsetzung
Im nächsten Abschnitt werden wir den hier vorgestellten Präzisierungsansatz benutzen, um eine Grenzwertdefinition zu entwickeln.
