Erarbeitung

Beispiel 1

Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{2x}{x+3}$.

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Anleitung zum Applet

• Im Applet ist bereits eine Funktion vorgegeben. Im unteren Eingabefeld im linken Fenster kann man die Funktionsgleichung bei Bedarf abändern.
• Der Graph der Funktion wird im rechten Fenster – zumindest ausschnittsweise – angezeigt. Mit den Schaltflächen [$+$] und [$-$] kann man im Grafikfenster rein- und rauszuzoomen. Mit der Schaltfläche $\circ$ kann man die Ausgangsskalierung wieder herstellen.
• Im oberen Eingabefeld im linken Fenster kann man eine Folge festlegen, mit der man für $x \rightarrow +\infty$ immer größere $x$-Werte bzw. für $x \rightarrow -\infty$ immer kleinere $x$-Werte erzeugen kann. Die Erzeugung der $x$-Werte erfolgt, indem man die Schaltflächen [$x_1$] und [$x_{n+1}$] anklickt. Die $x$-Werte werden dann zur Berechnung der zugehörigen Funktionswerte übernommen.

Aufgabe 1

(a) Am Graph kann man erste Beobachtungen zum Grenzverhalten der vorgegebenen Funktion für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ machen. Stelle Vermutungen auf, wie sich der Graph entwickelt, wenn man sehr große $x$-Werte mit $x \rightarrow +\infty$ bzw. sehr kleine $x$-Werte mit $x \rightarrow -\infty$ betrachtet.

(b) Die Beobachtungen liefern noch keine gesicherten Erkenntnisse über das Grenzverhalten der Funktion, da man die Funktionswerte nur in einem eingeschränkten Bereich überschauen kann. Bestimme das Grenzverhalten jetzt experimentell, indem Funktionswerte für immer größere $x$-Werte berechnet werden. Betrachte zunächst das Grenzverhalten für $x \rightarrow +\infty$. Nutze zur Erzeugung der $x$-Werte die Folge $x_n = 10^n$. Wie verhalten sich die zugehörigen Funktionswerte? Nutze zur Erzeugung der $x$-Werte auch eine andere Folge, z.B. die Folge $x_n = n^2$. Verdeutliche mit dem Applet, dass sich die Funktionswerte für $x \rightarrow +\infty$ bei $g = 2$ stabilisieren.

(c) Bestimme analog das Grenzverhalten für $x \rightarrow -\infty$. Nutze zur Erzeugung der $x$-Werte jetzt Folgen wie z.B. $x_n = -10^n$ oder $x_n = -n^2$. Verdeutliche mit dem Applet, dass sich die Funktionswerte für $x \rightarrow -\infty$ ebenfalls bei $g = 2$ stabilisieren.

(d) In der Mathematik gibt man sich üblicherweise nicht mit experimentell gewonnenen Ergebnissen zufrieden. Man möchte sie auch argumentativ absichern. Im vorliegenden Beispiel hilft eine Termumformung:

$f(x) = \dfrac{2x}{x+3} = \dfrac{x \cdot 2}{x \cdot (1+\frac{3}{x})} = \dfrac{2}{1+\frac{3}{x}} = \dfrac{2}{1+3 \cdot\frac{1}{x}}$

Ergänze die $\dots$ mit deinem Wissen über die Hilfsfunktion $h(x) = \frac{1}{x}$:

Wenn $x \rightarrow +\infty$, dann gilt $\frac{1}{x} \rightarrow \dots$ und somit $\dfrac{2}{1+3 \cdot\frac{1}{x}} \rightarrow \dots$.

Wenn $x \rightarrow -\infty$, dann gilt $\frac{1}{x} \rightarrow \dots$ und somit $\dfrac{2}{1+3 \cdot\frac{1}{x}} \rightarrow \dots$.

(e) Formuliere die Ergebnisse mit der Limes-Schreibweise.

$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \dots$ und $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \dots$

Beispiel 2

Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{x^2+2}{x}$.

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Aufgabe 2

Zeige mit Beobachtungen (am Graph), Experimenten (mit $x$-Werte-Folgen) und Argumentationen (mit Termumformungen), dass die Funktion $f$ das folgende Grenzverhalten hat:

Für $x \rightarrow +\infty$ gilt $f(x) \rightarrow +\infty$.

Für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x) \rightarrow -\infty$.

Beispiel 3

Interessant ist die Funktion, die im folgenden Applet vorgegeben ist. Blende den Graph der Funktion zunächst nicht ein.

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Aufgabe 3

(a) Untersuche zunächst, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn man für $x \rightarrow \infty$ die $x$-Werte-Folge $x_n = 10^n$ durchläuft. Welche Vermutung ergibt sich hier?

(b) Betrachte jetzt die $x$-Werte-Folge $x_n = 10^n + 1$. Die musst du zunächst im Applet korrekt eingeben. Wie verhalten sich jetzt die Funktionswerte, wenn man die $x$-Werte-Folge durchläuft? Blende den Graph der Funktion ein und erkläre das unterschiedliche Verhalten.

(c) Betrachte auch noch die $x$-Werte-Folge $x_n = 2.3^n$. Warum stabilisieren sich die Funktionswerte bei dieser $x$-Werte-Folge nicht? Erkläre das Verhalten mit Hilfe des Graphen.

(d) Wie kann man begründen, dass die Funktion im Applat keinen Grenzwert für $x \rightarrow \infty$ hat? Erläutere kurz.