Erarbeitung

Beispiel 1

Mit dem folgenden Applet kann man das Grenzverhalten von Funktionen für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ untersuchen.

Anleitung zum Applet

• Im Applet kann man im unteren Eingabefeld die Funktion eigeben, deren Grenzverhalten man untersuchen möchte. Der Graph der Funktion wird im rechten Fenster – zumindest ausschnittsweise – angezeigt.
• Im oberen Eingabefeld kann man eine Folge festlegen, mit der man für $x \rightarrow +\infty$ immer größere $x$-Werte bzw. für $x \rightarrow -\infty$ immer kleinere $x$-Werte erzeugen kann.
• Die Erzeugung der $x$-Werte erfolgt, wenn man die Schaltflächen [$x_1$] und [$x_{n+1}$] anklickt. Die $x$-Werte werden dann zur Berechnung der zugehörigen Funktionswerte übernommen.

Zum Herunterladen: grenzwertfunktion1.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet vorgegebene Funktion $f(x) = \dfrac{2x}{x+3}$.

(a) Am Graph kann man erste Beobachtungen zum Grenzverhalten der Funktion machen. Stelle Vermutungen auf, wie sich der Graph entwickelt, wenn man sehr große $x$-Werte mit $x \rightarrow +\infty$ bzw. sehr kleine $x$-Werte mit $x \rightarrow -\infty$ betrachtet.

(b) Die Beobachtungen liefern noch keine gesicherten Erkenntnisse über das Grenzverhalten der Funktion, da man die Funktionswerte nur in einem sehr eingeschränkten Bereich überschauen kann. Bestimme das Grenzverhalten jetzt experimentell, indem Funktionswerte für immer größere $x$-Werte berechnet werden. Betrachte zunächst das Grenzverhalten für $x \rightarrow +\infty$. Nutze zur Erzeugung der $x$-Werte die Folge $x_n = 10^n$. Wie verhalten sich die zugehörigen Funktionswerte? Nutze zur Erzeugung der $x$-Werte auch eine andere Folge, z.B. die Folge $x_n = n^2$. Verdeutliche mit dem Applet, dass sich die Funktionswerte für $x \rightarrow +\infty$ bei $g = 2$ stabilisieren.

(c) Bestimme analog das Grenzverhalten für $x \rightarrow -\infty$. Nutze zur Erzeugung der $x$-Werte jetzt Folgen wie z.B. $x_n = -10^n$ oder $x_n = -n^2$. Verdeutliche mit dem Applet, dass sich die Funktionswerte für $x \rightarrow -\infty$ ebenfalls bei $g = 2$ stabilisieren.

(d) In der Mathematik gibt man sich üblicherweise nicht mit experimentell gewonnenen Ergebnissen zufrieden. Man möchte sie auch argumentativ absichern. Im vorliegenden Beispiel hilft eine Termumformung:

$f(x) = \dfrac{2x}{x+3} = \dfrac{x \cdot 2}{x \cdot (1+\frac{3}{x})} = \dfrac{2}{1+\frac{3}{x}} = \dfrac{2}{1+3 \cdot\frac{1}{x}}$

Ergänze die $\dots$ mit deinem Wissen über die Hilfsfunktion $h(x) = \frac{1}{x}$:

Wenn $x \rightarrow +\infty$, dann gilt $\frac{1}{x} \rightarrow \dots$ und somit $\dfrac{2}{1+3 \cdot\frac{1}{x}} \rightarrow \dots$.

Wenn $x \rightarrow -\infty$, dann gilt $\frac{1}{x} \rightarrow \dots$ und somit $\dfrac{2}{1+3 \cdot\frac{1}{x}} \rightarrow \dots$.

(e) Formuliere die Ergebnisse mit der Limes-Schreibweise.

$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \dots$ und $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \dots$

Beispiel 2

Betrachte die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2+2}{x}$.

Aufgabe 2

Zeige mit Beobachtungen (am Graph), Experimenten (mit $x$-Werte-Folgen) und Argumentationen (mit Termumformungen), dass die Funktion $f$ das folgende Grenzverhalten hat:

Für $x \rightarrow +\infty$ gilt $f(x) \rightarrow +\infty$.

Für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x) \rightarrow -\infty$.

Nutze für die Beobachtungen und die Experimente das Applet. Hier musst du zunächst die Funktion korrekt eingeben.

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Beispiel 3

Interessant ist die Funktion, die im folgenden Applet vorgegeben ist. Blende den Graph der Funktion zunächst nicht ein.

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Aufgabe 3

(a) Untersuche zunächst, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn man für $x \rightarrow \infty$ die $x$-Werte-Folge $x_n = 10^n$ durchläuft. Welche Vermutung ergibt sich hier?

(b) Betrachte jetzt die $x$-Werte-Folge $x_n = 10^n + 1$. Die musst du zunächst im Applet korrekt eingeben. Wie verhalten sich jetzt die Funktionswerte, wenn man die $x$-Werte-Folge durchläuft? Blende den Graph der Funktion ein und erkläre das unterschiedliche Verhalten.

(c) Betrachte auch noch die $x$-Werte-Folge $x_n = 2.3^n$. Warum stabilisieren sich die Funktionswerte bei dieser $x$-Werte-Folge nicht? Erkläre das Verhalten mit Hilfe des Graphen.

(d) Wie kann man begründen, dass die Funktion im Applat keinen Grenzwert für $x \rightarrow \infty$ hat? Erläutere kurz.