Übungen - Stetigkeit von Funktionen

Aufgabe 1: Stetigkeit an einer Stelle

Entscheide jeweils, ob die Funktion $f$ stetig an der Stelle a stetig ist. Als mögliche Antworten sind ja (kurz: j), nein (kurz: n) und keine Aussage möglich (kurz: k) vorgesehen.

Funktion / Stelle	Applet	(j/n/k)
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x^2+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ x^2+1 & \text{wenn } x > 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$	Applet einblenden
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x^2+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ 0 & \text{wenn } x = 0 \\ x^2+1 & \text{wenn } x > 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$	Applet einblenden
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x^2+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ x^2 & \text{wenn } x \geq 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$	Applet einblenden
Funktion: $f(x) = \begin{cases} -x^2+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ x^2 + 1 & \text{wenn } x \geq 0 \end{cases}$ Stelle: $a = 0$	Applet einblenden

Aufgabe 2

(a) Entscheide jeweils, ob die vorgegebene Funktion an der Stelle $a = 0$ stetig ist. Begründe die Entscheidung.

• $f_1(x) = \dfrac{x}{x}$
• $f_2(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{x} & \text{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \text{wenn } x = 0 \end{cases}$
• $f_3(x) = \begin{cases} \dfrac{0}{x} & \text{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \text{wenn } x = 0 \end{cases}$
• $f_4(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{1} & \text{wenn } x \neq 0 \\ 0 & \text{wenn } x = 0 \end{cases}$
• $f_5(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{wenn } x \neq 0 \\ 1 & \text{wenn } x = 0 \end{cases}$
• $f_6(x) = \dfrac{1}{x}$
• $f_7(x) = \dfrac{0}{x}$

(b) Entscheide jeweils, ob die Funktion $f$ stetig ist. Begründe die Entscheidung.

Aufgabe 3

(a) Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ ist an der Stelle $a = 2$ nicht definiert. Wir ergänzen an dieser Stelle einen Funktionswert:

$g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2} & \text{wenn } x \neq 2 \\ 4 & \text{wenn } x = 2 \end{cases}$

Begründe, dass die ergänzte Funktion $g$ stetig ist.

(b) Prüfe, ob man bei den folgenden Funktionen die Definitionslücke(n) ebenfalls durch eine Erweiterung so schließen kann, dass die erweiterte Funktion stetig ist. Begründe jeweils.

• $f_1(x) = \dfrac{x}{x}$
• $f_2(x) = \dfrac{1}{x}$
• $f_3(x) = \dfrac{x-2}{x^2-4}$

Aufgabe 4

Bestimme den Parameter $c$ jeweils so, dass die Funktion stetig wird.

• $f_1(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{wenn } x \text{ < } 0 \\ -x^2 + c & \text{wenn } x \geq 0 \end{cases}$
• $f_2(x) = \begin{cases} x-2 & \text{wenn } x \leq 2 \\ (x - 3)^2 + c & \text{wenn } x > 2 \end{cases}$
• $f_3(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - x}{x} & \text{wenn } x \neq 0 \\ c & \text{wenn } x = 0 \end{cases}$
• $f_4(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{wenn } x \leq -1 \\ x + c & \text{wenn } x > -1 \end{cases}$