Vertiefung - Nullfolgen
Zur Orientierung
Wir betrachten hier den Spezialfall von konvergenten Folgen, die sich beim Grenzwert 0 stabilisieren.
Folgen mit dem Grenzwert 0
Nullfolge
Eine Folge $\left( a_n \right)$ heißt Nullfolge genau dann, wenn sie den Grenzwert $0$ hat.
In den Aufgaben geht es darum, einige Standard-Nullfolgen kennen zu lernen.
Aufgabe 1
Im Applet werden Folgen mit $a_n = q^n$ dargestellt, wobei $q$ eine beliebige reelle Zahl sein kann. Untersuche, für welche $q$-Werte die Folge eine Nullfolge ist. Formuliere ein Ergebnis.
Eine Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = q^n$ ist eine Nullfolge genau dann, wenn ...
Zum Herunterladen: nullfolge1.ggb
Aufgabe 2
Im Applet werden Folgen mit $a_n = \displaystyle{\frac{1}{n^r}}$ dargestellt, wobei $r$ eine beliebige reelle Zahl sein kann. Untersuche, für welche $r$-Werte die Folge eine Nullfolge ist. Formuliere ein Ergebnis.
Eine Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = \displaystyle{\frac{1}{n^r}}$ ist eine Nullfolge genau dann, wenn ...
Zum Herunterladen: nullfolge2.ggb
Aufgabe 3
Gesucht ist eine Folge $\left( a_n \right)$, die ...
- ... sich dem Grenzwert $0$ von oben nähert.
- ... sich dem Grenzwert $0$ von unten nähert.
- ... sich dem Grenzwert $0$ abwechselnd von oben und unten nähert.
- ... sich dem Grenzwert $0$ sehr schnell von oben nähert.
Folgen mit vorgegebenen Grenzwerten konstruieren
Aufgabe 4
(a) Stelle jeweils eine Vermutung über den Grenzwert auf. Überprüfe die Vermutung mit den Applets (siehe unten). Welchen allgemeinen Zusammenhang vermutest du?
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(4 + \frac{1}{n} \right)} = \dots$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(3 - {0.7}^n \right)} = \dots$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(-1 - {(-0.9)}^n \right)} = \dots$
- $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(1 + \frac{1}{n^{0.5}} \right)} = \dots$
(b) Formuliere ausgehend von der Ergebnissen aus Aufgabenteil (a) den folgenden Satz.
Konstruktion konvergenter Folgen
Wenn $\left( h_n \right)$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = c + h_n$ den Grenzwert ....
Wenn $\left( h_n \right)$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $\left( a_n \right)$ mit $a_n = c - h_n$ den Grenzwert ....
(c) Nutze die Inhalte dieses und des vorangegangenen Abschnitts, um den folgenden Wissensspeicher auszufüllen.
Aufgabe 5
Gesucht ist eine Folge $\left( a_n \right)$, die ...
- ... sich dem Grenzwert $-1$ von oben nähert.
- ... sich dem Grenzwert $2$ von unten nähert.
- ... sich dem Grenzwert $3$ abwechseln von oben und unten nähert.
- ... sich dem Grenzwert $1$ sehr schnell von oben nähert.
- ... sich dem Grenzwert $1$ langsam von unten nähert.
