Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du bereits das Grenzverhalten von Funktionen für $x \rightarrow a$ bestimmt. Wir sind dort von einem intuitiven Grenzwertverständnis ausgegangen. In diesem Abschnitt holen wir eine präzise Festlegung des Grenzwertbegriff bei Funktionen nach.
Eine Definition entwickeln
Im letzten Abschnitt hast du folgende Grenzverhaltenssituationen betrachtet.
| Funktion | Grenzverhalten |
|---|---|
$f(x) = \dfrac{1}{x}$; $a = 0$
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Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow +\infty$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow -\infty$. Es existiert kein endlicher Grenzwert. |
$f(x) = \dfrac{x}{|x|}$; $a = 0$
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Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow 1$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow -1$. Für unterschiedliche Annäherungsfolgen ergeben sich unterschiedliche Grenzwerte. Es existiert also kein eindeutiger Grenzwert. |
$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$; $a = 1$
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Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow 2$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow 2$. Man erhält für alle Annäherungsfolgen den Grenzwert $g = 2$. |
$f(x) = \sin(\frac{1}{x})$; $a = 0$
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Hier sind keine Grenzwertaussagen möglich. Es existiert kein Grenzwert. |
Wir nutzen diese Erkenntnisse, um den Grenzwertbegriff bei Funktionen präzise festzulegen.
Grenzwert einer Funktion für $x \rightarrow a$
Eine Funktion $f$ hat für $x \rightarrow a$ den Grenzwert $g$ genau dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für jede Folge von $x$-Werten $(x_n)$ mit $x_n \rightarrow a$ – mit $x$-Werten aus der Definitionsmenge von $f$ – konvergiert die zugehörige Folge von Funktionswerten $(f(x_n))$ gegen den Grenzwert $g$.
Schreibweise: $\lim \limits_{x \to a} f(x) = g$
Aufgabe 1
Erläutere: Die vorliegende Definition des Grenzwertbegriffs für Funktionen verwendet die Grenzwertdefinition für Folgen.
