Vertiefung - Präzisierung des
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du vermutlich gesehen, dass es Folgen gibt, bei denen man mit einem intuitiven Grenzwertverständnis nicht zweifelsfrei entscheiden kann, ob sie konvergent sind oder nicht. In diesem Abschnitt geht es darum, Ideen für eine Präzisierung zu entwickeln.
Ein Grenzwertkriterium entwickeln
Bei einer konvergenten Folge liegen – nach dem intuitiven Grenzwertverständnis – die Folgenglieder mit wachsender Platznummer
nahe am Grenzwert.
Zur Erfassung des Aspekts nahe am Grenzwert
führen wir die $\epsilon$-Umgebung um den Grenzwert $g$ ein:
Das sind alle Zahlen, die zu $g$ einen Abstand haben, der kleiner als $\epsilon$ ist. Das ist also der Zahlenbereich zwischen $g - \epsilon$ und $g + \epsilon$.
In den folgenden Applet wird eine solche $\epsilon$-Umgebung um einen vermuteten Grenzwert $g$ mit einem $\epsilon$-Streifen
veranschaulicht.
Wenn der Punkt zu einem Folgenglied $a_n$ innerhalb des $\epsilon$-Streifens um $g$ liegt,
dann beträgt der Abstand des Folgenglieds $a_n$ zum potentiellen Grenzwert $g$ weniger als $\epsilon$.
Aufgabe 2
In der Übersicht sind nochmal die Folgen zu den Raucherentwöhnungsmodellen dargestellt.
In welchen Modellen ist die Bedingung
mit wachsender Platznummer liegen die Folgenglieder nahe am Grenzwert
erfüllt?
Nutze $\epsilon$-Streifen, um deine Einschätzung zu begründen.
| Folge $\left( a_n \right)$ | konvergent? (ja / nein) |
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Modell A: |
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Modell B: |
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Modell C: |
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Modell D: |
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Modell E: |
