Übungen - Grenzwerte bei Funktionen

Aufgabe 1: Grenzwerte für $x \rightarrow \pm\infty$ am Graph ablesen

Bestimme das Grenzverhalten der vorgegebenen Funktionen für $x \rightarrow \pm\infty$. Für die Grenzwertuntersuchungen kannst du das Applet benutzen. Gib jeweils die Funktionsgleichung ein. Mit der Schaltfläche [$-$] kann man den Graph verkleinern und sich damit einen besseren Überblick über das Grenzverhalten für $x \rightarrow \pm\infty$ verschaffen. Dokumentiere die Ergebnisse mit passenden Schreibweisen.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: grenzwertfunktion1graph.ggb

	Funktion	Grenzverhalten für $x \rightarrow +\infty$	Grenzverhalten für $x \rightarrow -\infty$
(a)	$f(x) = \dfrac{1}{x^2}$	$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = \dots$	$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = \dots$
(b)	$f(x) = x^2$	für $x \rightarrow +\infty$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$	für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$
(c)	$f(x) = \dfrac{x^2}{1+x^2}$
(d)	$f(x) = x - 1$
(e)	$f(x) = \dfrac{x^3}{1+x^2}$
(f)	$f(x) = \dfrac{1}{x} - 1$
(g)	$f(x) = 1$
(h)	$f(x) = \sin(x)$

Aufgabe 2: Grenzwerte für $x \rightarrow \pm\infty$ mit Testeinsetzungen bestimmen

Bestimme das Grenzverhalten der vorgegebenen Funktionen für $x \rightarrow \pm\infty$, indem du für $x$ immer größere bzw. kleinere Werte in die Funktionsgleichung einsetzt. Im Applet ist hierfür eine Folge zur Erzeugung passender $x$-Werte für $x \rightarrow +\infty$ bereits vorgegeben. Für $x \rightarrow -\infty$ musst du die Folge geeignet abändern. Dokumentiere die Ergebnisse mit passenden Schreibweisen. Kontrolliere sie auch, indem du den Graph der Funktion einblendest.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: grenzwertfunktion1folgen.ggb

	Funktion	Grenzverhalten für $x \rightarrow +\infty$	Grenzverhalten für $x \rightarrow -\infty$
(a)	$f(x) = \dfrac{x - 1}{2x + 1}$	$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = \dots$	$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = \dots$
(b)	$f(x) = x-x^2$	für $x \rightarrow +\infty$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$	für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$
(c)	$f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$
(d)	$f(x) = x^3 - 3x$
(e)	$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$
(f)	$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 1$
(g)	$f(x) = -1$
(h)	$f(x) = \cos(x)$

Aufgabe 3: Grenzwerte für $x \rightarrow \pm\infty$ anhand des Funktionsterms ablesen

Erschließe aus dem Funktionsterm das Grenzverhalten für $x \rightarrow \pm\infty$. Spiele hierzu in Gedanken durch, wie sich $f(x)$ für $x \rightarrow +\infty$ bzw. $x \rightarrow -\infty$ verhält. Gegebenenfalls hilft es, den Funktionsterm umzuformen. Dokumentiere die Ergebnisse mit passenden Schreibweisen. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet unten.

	Funktion	Grenzverhalten für $x \rightarrow +\infty$	Grenzverhalten für $x \rightarrow -\infty$
(a)	$f(x) = \dfrac{2}{x + 1}$	$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = \dots$	$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = \dots$
(b)	$f(x) = \dfrac{x+1}{2}$	für $x \rightarrow +\infty$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$	für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$
(c)	$f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}$
(d)	$f(x) = x^3$
(e)	$f(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{x^2}} + 1$
(f)	$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x+1}$
(g)	$f(x) = -1$
(h)	$f(x) = (\sin(x))^2 + (\cos(x))^2$

Applet einblenden

Zum Herunterladen: grenzwertfunktion1folgen.ggb

Aufgabe 4: Grenzwerte für $x \rightarrow a$ am Graph ablesen

Bestimme das Grenzverhalten der vorgegebenen Funktionen für $x \rightarrow a$. Für die Grenzwertuntersuchungen kannst du das Applet benutzen. Gib jeweils die Funktionsgleichung ein. Mit der Schaltfläche [$+$] kann man den Graph vergrößern und sich damit einen besseren Überblick über das Grenzverhalten für $x \rightarrow a$ verschaffen. Dokumentiere die Ergebnisse.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: grenzwertfunktion2graph.ggb

	Funktion	Grenzverhalten für $x \rightarrow a$
(a)	$f(x) = \dfrac{1}{x}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b)	$f(x) = \dfrac{x^2}{|x|}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(c)	$f(x) = \dfrac{x^2+x}{x}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(d)	$f(x) = \dfrac{\cos(x)}{x}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(e)	$f(x) = \begin{cases} x & \text{wenn } x > 0 \\ 0 & \text{wenn } x \leq 0 \end{cases}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.

Aufgabe 5: Grenzwerte für $x \rightarrow a$ mit Testeinsetzungen bestimmen

Bestimme das Grenzverhalten der vorgegebenen Funktionen für $x \rightarrow a$. Für die Grenzwertuntersuchungen kannst du das Applet benutzen. Gib jeweils die Funktionsgleichung ein. Mit der Schaltfläche [$+$] kann man den Graph vergrößern und sich damit einen besseren Überblick über das Grenzverhalten für $x \rightarrow a$ verschaffen. Dokumentiere die Ergebnisse.

(a) Betrachte $f(x) = \dfrac{4x}{x-2}$ an der Stelle $a = 2$.

Ergänze die Testeinsetzungen:

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\dots$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$				$\dots$

Formuliere die Ergebnisse:
Für $x \rightarrow 2$ mit $x > 2$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 2$ mit $x \text{ < } 2$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.

(b) Betrachte $f(x) = \dfrac{2x^2-4x}{x-2}$ an der Stelle $a = 2$.

Ergänze die Testeinsetzungen:

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\dots$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$				$\dots$

Formuliere die Ergebnisse:
Für $x \rightarrow 2$ mit $x > 2$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 2$ mit $x \text{ < } 2$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.

(c) Betrachte $f(x) = \dfrac{2x^2-4x}{|x-2|}$ an der Stelle $a = 2$.

Ergänze die Testeinsetzungen:

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\dots$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$				$\dots$

Formuliere die Ergebnisse:
Für $x \rightarrow 2$ mit $x > 2$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
Für $x \rightarrow 2$ mit $x \text{ < } 2$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.

Aufgabe 6: Grenzwerte für $x \rightarrow a$ anhand des Funktionsterms ablesen

Erschließe aus dem Funktionsterm das Grenzverhalten für $x \rightarrow \pm\infty$. Spiele hierzu in Gedanken durch, wie sich $f(x)$ für $x \rightarrow a$ verhält. Gegebenenfalls hilft es, den Funktionsterm umzuformen. Dokumentiere die Ergebnisse und kontrolliere sie im Applet unten.

	Funktion	Grenzverhalten für $x \rightarrow a$
(a)	$f(x) = \dfrac{1}{x^3}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(b)	$f(x) = \dfrac{x^2}{x}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(c)	$f(x) = \dfrac{1}{x-1}$	Stelle: $a = 1$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 1$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 1$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(d)	$f(x) = \dfrac{x^2-x}{x-x^2}$	Stelle: $a = 1$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 1$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 1$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.
(e)	$f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{wenn } x > 0 \\ 1-x & \text{wenn } x \leq 0 \end{cases}$	Stelle: $a = 0$ Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$. Für $x \rightarrow 0$ mit $x \text{ < } 0$ gilt $f(x) \rightarrow \dots$.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: grenzwertfunktion2graph.ggb