Erarbeitung - Grenzwertdefinition

Das Verhalten einer konvergenten Folge beschreiben

Wir betrachten als Beispiel die im Applet dargestellte Folge $(a_n)$ mit $a_n = \dfrac{1}{n}$. Diese Folge hat offensichtlich den Grenzwert $g = 0$. Dass das tatsächlich zutrifft, soll mit dem eingeführten Präzisierungsansatz erklärt werden.

Zum Herunterladen: raucher1_mit_epsilonumgebung_und_platznummern0.ggb

Aufgabe 1

In der Übersicht ist ein Dialog über die das Konvergenzverhalten der Folge dargestellt. Verdeutliche die Argumentation anhand dem Applet. Ergänze auch die noch fehlenden Angaben.

Wenn man die Streifenbreite $\epsilon = 0.5$ vorgibt, dann sieht man, dass es Folgenglieder gibt (z.B. $a_1 = 1$), die nicht in der $\epsilon$-Umgebung zum Grenzwert $g = 0$ liegen.	Ja, das stimmt. Es müssen auch nicht alle Folgenglieder nahe am Grenzwert liegen. Ab $n_0 = 3$ liegen aber alle Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung von $g$. Der Abstand von $a_3; a_4; a_5; ...$ vom Grenzwert $g$ ist kleiner als $\epsilon = 0.5$.
Ok. Dann mache ich den Abstand kleiner und stelle die Streifenbreite $\epsilon = 0.2$ ein. Klappt das Argument dann auch noch?	Ja, klar. Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $\epsilon$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $\epsilon = 0.2$ ist.
Jetzt mache ich den Abstand noch kleiner und stelle die Streifenbreite $\epsilon = 0.1$ ein. Wie sieht es dann mit der Entwicklung der Abstände der Folgenglieder zum Grenzwert aus?	Kein Problem. Ab $n_0 = ...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $\epsilon$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $\epsilon = 0.1$ ist.
Und, funktioniert das bei jeder noch so kleinen Streifenbreite $\epsilon$?	Ja. Man muss $n_0$ nur geeignet wählen. Für die vorliegende Folge kann man $n_0 = ...$ nehmen. Ab dieser Platznummer haben alle Folgenglieder einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $\epsilon$ ist.

Das Verhalten einer divergenten Folge beschreiben

Wir betrachten als Beispiel die im Applet dargestellte Folge $(a_n)$. Bei dieser Folge gilt: $a_1 = 1; a_2 = 1; a_4 = 1; a_8 = 1; a_{16} = 1, \dots$. Alle anderen Folgenglieder haben den Wert $0$. Diese Folge konvergiert nicht, auch nicht zum Grenzwert $g = 0$. Dass das tatsächlich zutrifft, soll mit dem eingeführten Präzisierungsansatz erklärt werden.

Zum Herunterladen: raucher3_mit_epsilonumgebung_und_platznummern0.ggb

Aufgabe 2

Verdeutliche die Argumentation im Dialog anhand des Applets. Ergänze die fehlende Angabe.

Wenn man die Streifenbreite $\epsilon = 1.2$ vorgibt, dann liegen alle Folgenglieder ab $n_0 = 1$ in der $\epsilon$-Umgebung um $g = 0$. Spricht das nicht für Konvergenz?	Das reicht natürlich nicht. Wenn man die Streifenbreite $\epsilon = ...$ vorgibt, dann gelingt es nicht, eine Platznummer $n_0 = 1$ zu finden, ab der alle weiteren Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung um $g = 2$ liegen.
Ok, das sehe ich ein. Man muss dann keine weiteren $\epsilon$-Werte betrachten?	Ja genau. Es reicht, einen $\epsilon$-Wert zu finden, für den die Folge ab einer Platznummer $n_0$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung reinpasst. Es gibt dann immer wieder Folgenglieder, die einen Mindestabstand von $\epsilon$ zum Wert $g$ haben. Die Folge kann dann nicht den Grenzwert $g$ haben.

Eine Grenzwertdefinition formulieren konvergenten Folge beschreiben

Wir verwenden die Argumentation im Dialog als Basis für eine präzise Grenzwertdefinition.