Lösungen zu Übungen - Ableitungsfunktion
Aufgabe 1
(a) $f'(x) = 2x$
(b) $f'(x) = 2x$
(c) $f(x) = x$
(d) $f'(x) = 0.5$
(e) $f'(x) = 0$
Aufgabe 2
(a) Der Graph der Ausgangsfunktion $f$ wird im oberen Fenster des Applets vorgegeben. Welcher Graph im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$? Begründe deine Auswahl.
Korrekt ist die Auswahl (a).
Graph $f$ hat an der Stelle $x = 0$ eine negative Steigung. Daher passen die Auswahl (b) und (c) nicht.
(b) Der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ wird im unteren Fenster des Applets vorgegeben. Welcher Graph im oberen Fenster ist der Graph einer passenden Ausgangsfunktion $f$? Begründe deine Auswahl.
Korrekt ist die Auswahl (b).
Da $f'(x) = \frac{1}{2}$, passt nur eine Ausgangsfunktion, deren Graph in jedem Punkt die Steigung $\frac{1}{2}$ hat.
Das ist nur bei der Auswahl (b) der Fall.
Aufgabe 3
(a) Führe mit [Start] einen Fallschirmsprung durch. An welchem Zeitpunkt wird der Schirm geöffnet? Woran erkennt man diesen Zeitpunkt im Bewegungsablauf?
Der Schirm wird zum Zeitpunkt $t = 4$ geöffnet. Ab diesem Zeitpunkt ändert sich die Bewegung ruckartig.
(b)
Aktiviere das Kontrollkästchen $s(t)$.
Erkläre, warum der Graph der Zeit-Weg-Funktion $s$ einen Knick
hat.
Vor dem Öffnen des Fallschirms wird die Geschwindigkeit der Person immer größer. Ab dem Zeitpunkt $t = 4$ bewegt die Person sich mit einer konstanten und eher geringen Geschwindigkeit nach unten.
(c) Überlege dir, wie der Graph der Ableitungsfunktion $s'$ verlaufen müsste. Aktiviere zur Kontrolle das Kontrollkästchen $s'(t)$. Erkläre den Verlauf von Graph $s'$.
$s'(t)$ beschreibt die Entwicklung der momentanen Geschwindigkeit. Vor dem Öffnen des Fallschirms entwickelt sich die Geschwindigkeit $s'(t)$ wie beim freien Fall: $s'(t)$ wird gleichmäßig immer größer. Nach dem Zeitpunkt $t = 4$ ist $s'(t)$ eine feste Zahl. Der Graph verläuft hier parallel zur $x$-Achse.
(d) Im unteren Koordinatensystem sind die Punkte $(4|40)$ und $(4|5)$ mit Kringel hervorgehoben. Was will man mit diesen Punkten ausdrücken?
Für den Zeitpunkt $t = 4$ kann man die Momentangeschwindigkeit nicht eindeutig bestimmen. Die Ableitung $s'(4)$ existiert demnach nicht. Die Funktion $s$ ist an der Stelle $t = 4$ nicht ableitbar. Die Punkte $(4|40)$ und $(4|5)$ gehören somit nicht zum Graph von $s'$.
(e) Der Fallschirmsprung wird im Applet mit der folgenden Zeit-Weg-Funktion beschrieben.
$s(t) = \begin{cases} 5 t^2 & \text{wenn } 0 \leq t \leq 4 \\ 5(t-4)+80 & \text{wenn } 4 \text{ < } t \leq 12 \end{cases}$
Beschreibe $s'(t)$ mit einer Funktionsgleichung. Beachte das Verhalten zum Zeitpunkt $t = 4$.
$s'(t) = \begin{cases} 10t & \text{wenn } 0 \leq t \text{ < } 4 \\ 5 & \text{wenn } 4 \text{ < } t \leq 12 \end{cases}$
