Lösungen zu Übungen - Ableitungsregeln
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion.
(a)
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $f(x) = x^7$ | $f'(x) = 7x^6$ |
| (2) | $f(x) = x^3$ | $f'(x) = 3x^2$ |
| (3) | $f(x) = x^{12}$ | $f'(x) = 12x^{11}$ |
| (4) | $f(x) = x$ | $f'(x) = 1$ |
| (5) | $f(x) = 1$ | $f'(x) = 0$ |
(b)
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $f(x) = 2x^{4}$ | $f'(x) = 8x^3$ |
| (2) | $f(x) = -3x$ | $f'(x) = -3$ |
| (3) | $f(x) = -x^6$ | $f'(x) = -6x^5$ |
| (4) | $f(x) = 7 x^{8}$ | $f'(x) = 56 x^7$ |
| (5) | $f(x) = \frac{1}{2} x$ | $f'(x) = \frac{1}{2}$ |
(c)
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $f(x) = 3x^{4} + 2x$ | $f'(x) = 12x^3 + 2$ |
| (2) | $f(x) = x^5 - 2x^2 + x$ | $f'(x) = 5x^4 - 4x + 1$ |
| (3) | $f(x) = x^4 - 4$ | $f'(x) = 4x^3$ |
| (4) | $f(x) = x - \frac{1}{2}x^2$ | $f'(x) = 1 - x$ |
| (5) | $f(x) = x\cdot (x^3 - 2x -1) = x^4 - 2x^2 - x$ | $f'(x) = 4x^3 - 4x - 1$ |
Aufgabe 2
(a) Was fällt auf, wenn man die Ableitungsfunktionen bestimmt?
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^2 + 1$ | $f'(x) = 2x$ |
| $f(x) = x^2 + 2$ | $f'(x) = 2x$ |
| $f(x) = x^2 - 1$ | $f'(x) = 2x$ |
| $f(x) = x^3 - x$ | $f'(x) = 3x^2 - 1$ |
| $f(x) = x^3 - x - 1$ | $f'(x) = 3x^2 - 1$ |
| $f(x) = x^3 - x + 4.5$ | $f'(x) = 3x^2 - 1$ |
Es fällt auf, dass Funktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden, dieselbe Ableitungsfunktion haben.
(b) Rekonstruiere eine Ausgangsfunktion. Warum ist diese Rekonstruktion (die man auch "Aufleiten" nennen kann) nicht eindeutig?
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^4$ | $f'(x) = 4x^3$ |
| $f(x) = \frac{1}{3}x^3$ | $f'(x) = x^2$ |
| $f(x) = x^2 + x$ | $f'(x) = 2x + 1$ |
| $f(x) = -\frac{3}{2}x^4 + 2x^3 - \frac{1}{2}x^2$ | $f'(x) = -6x^3 + 6x^2 - x$ |
Die Ausgangsfunktion kann man hier jeweils noch um eine additive Konstante ergänzen. Diese fällt beim Ableiten dann weg.
Aufgabe 3
Namen sind "Schall und Rauch", man kann sie durch andere Namen ersetzen ohne dass sich der beschriebene Sachverhalt dadurch ändert. Das gilt auch für Funktionen. Man kann die Funktionsvariable und den Funktionsnamen ändern. Das hat aber keine Auswirkungen auf die Bestimmung der Ableitungsfunktionen. Verdeutliche das anhand der Beispiele in der Tabelle.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $g(x) = x^2 - 2x + 1$ | $g'(x) = 2x - 2$ |
| (2) | $h(x) = x - x^2$ | $h'(x) = 1 - 2x$ |
| (3) | $f(z) = z^4 + 2z^2 - 1$ | $f'(z) = 4z^3 + 4z$ |
| (4) | $f(t) = 4t$ | $f'(t) = 4$ |
| (5) | $s(t) = 5 t^2$ | $s'(t) = 10t$ |
| (6) | $v(t) = 10t$ | $v'(t) = 10$ |
Aufgabe 4
Die Ableitungen in der folgenden Tabelle sind alle falsch. Erläutere die Fehler, die hier gemacht wurden. Gib auch die korrekten Lösungen an.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion - falsch | Ableitungsfunktion - korrekt | |
| (1) | $f(x) = x^2 + 2$ | $f'(x) = 2x + 2$ | $f'(x) = 2x$ |
| (2) | $f(x) = 4x^3 + x$ | $f'(x) = 12x^2$ | $f'(x) = 12x^2 + 1$ |
| (3) | $f(x) = x^0$ | $f'(x) = x^{-1}$ | $f'(x) = 0$ |
| (4) | $f(x) = 2x^{-2}$ | $f'(x) = -4x^{-1}$ | $f'(x) = -4x^{-3}$ |
Aufgabe 5
(a) Wandle die folgenden Funktionen in Potenzfunktionen um und leite sie ab. Wenn du Hilfe beim Umwandeln in Potenzfunktionen brauchst, vollziehe dieses Video zu besonderen Exponenten bei Potenzen und Wurzeln nach und nutze die Übersicht am Ende des Videos: Youtube-Video.
| Ausgangsfunktion | Ausgangsfunktion als Potenzfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $f(x) = x^{-1}$ | $f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ |
| (2) | $f(x) = \frac{1}{x^2}$ | $f(x) = x^{-2}$ | $f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{1}{2x^3}$ |
| (3) | $f(x) = \sqrt{x}$ | $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ | $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| (4) | $f(x) = \sqrt[3]{x}$ | $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ | $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ |
| (5) | $f(x) = \sqrt[4]{x^3}$ | $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$ | $f'(x) = \frac{3}{4} \cdot x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$ |
(b) Leite die folgenden Funktionen ab. Bringe die Funktionen zunächst in eine Form, so dass du die bekannten Ableitungsregeln benutzen kannst.
| Ausgangsfunktion | umgeformte Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} $ | $f(x) = x^{-1} - x^{-2}$ | $f'(x) = -x^{-2} +2 x^{-3} = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} $ |
| (2) | $f(x) = 2\sqrt{x} - x\sqrt{2} $ | $f(x) = 2 x^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} \cdot x$ | $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$ |
| (3) | $f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{2} $ | $f(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}$ | $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4 \sqrt{x}}$ |
| (4) | $f(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ | $f(x) = 1 - x^{-\frac{1}{2}}$ | $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^\frac{3}{2}} = \frac{1}{2 (\sqrt{x})^3} = \frac{1}{2x \sqrt{x}}$ |
| (5) | $f(x) = x \cdot \frac{1}{x} $ | $f(x) = 1$ | $f'(x) = 0$ |
Aufgabe 6
Die Funktionen in dieser Aufgabe enthalten neben der Funktionsvariablen noch zusätzliche Parameter. Die Parameter stehen für nicht bekannte oder noch nicht festgelegte Zahlen. Beim Ableiten werden sie wie Zahlen behandelt. Leite die Funktionen ab. Achte genau darauf, welcher Buchstabe die Funktionsvariable darstellt.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion | |
| (1) | $f(x) = kx^2 - 1$ | $f'(x) = 2kx$ |
| (2) | $h(x) = x^(n+1)$ | $h'(x) = (n+1)x^{n}$ |
| (3) | $f(t) = it^3 + ti$ | $f'(t) = 3it^2 + i$ |
| (4) | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | $f'(x) = 2ax + b$ |
| (5) | $y(f) = xf$ | $y'(f) = x$ |
Aufgabe 7
(a) Begründe mit der Summen- und Faktorregel, dass auch die folgende Differenzenregel gilt.
Differenzenregel: Wenn $f(x) = u(x) - v(x)$, dann gilt $f'(x) = u'(x) - v'(x)$.
Tipp: $f(x) = u(x) - v(x) = u(x) + (-1)\cdot v(x)$.
Es gilt:
$f(x) = u(x) - v(x) = u(x) + (-1)\cdot v(x)$
Mit der Summenregel und der Faktorregel erhält man:
$f'(x) = u'(x) + (-1)\cdot v'(x) = u'(x) - v'(x)$.
(b) Begründe mit einem Gegenbeispiel, dass die folgende Regel für Produkte von Funktionen nicht gilt:
Regel: Wenn $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, dann gilt $f'(x) = u'(x) \cdot v'(x)$.
Tipp: Betrachte z.B. $u(x) = x^2$ und $v(x) = x^3$.
Mit $u(x) = x^2$ und $v(x) = x^3$ erhält man $f(x) = u(x) \cdot v(x) = x^5$.
Mit der Potenzregel erhält man: $f'(x) = 5x^4$.
Wenn man die oben angegebene Regel benutzt, erhält man: $f'(x) = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$.
Die oben angegebene Regel für Produkte von Funktionen gilt also nicht.
