Lösungen zu Vertiefende Übungen – Zusammenhänge zwischen Ausgangs- und Ableitungsfunktion
Aufgabe 1
Das Applet unter der Aufgabe zeigt oben drei Graphen von Ausgangsfunktionen; unten sind drei Graphen von Ableitungsfunktionen gegeben.
(a) Ordne jeder Ausgangsfunktion die passende Ableitungsfunktion zu. Begründe kurz mündlich, warum deine Zuordnung richtig ist. Dir kann dabei die intuitive Vorstellung helfen: Eine Ausgangsfunktion ist ein Höhenprofil; die Ableitungsfunktion ist das zugehörige Steigungsprofil.
- $f_1' = g_2$
- $f_2' = g_3$
- $f_3' = g_1$
(b) A. hat sich aufgeschrieben: „$f_3'(x) = g_2(x)$“, er denkt also, dass $g_2$ die Ableitungsfunktion von $f_3$ ist. Schreibe ihm eine kurze Antwort und erkläre, was er falsch verstanden hat.
A. hat vermutlich gedacht, dass der Graph der Ableitungsfunktion so ähnlich aussehen muss wie der Graph der Ausgangsfunktion. Da der Graph der Ausgangsfunktion $f_3$ eine Parallele zur $x$-Achse ist, könnte $g_2$ der Graph der Ableitungsfunktion sein, da dieser Graph ebenfalls eine Parallele zur $x$-Achse ist. So kann man nicht argumentieren. Der Graph der Ableitungsfunktion sieht in der Regel ganz anders aus als der Graph der Ausgangsfunktion.
Im vorliegenden Fall ist der Graph von $f_3$ eine Parallele zur $x$-Achse. Die Funktion $f_3$ hat an jeder Stelle die Steigung $0$. Der Graph der Ableitungsfunktion $f_3'$ muss demnach auf der $x$-Achse verlaufen. Bei der Konstruktion der Ableitungsfunktion muss man sich immer an den Steigungen der Ausgangsfunktion orientieren.
(c) B. meint, dass man hier die Graphen sehr schnell zuordnen kann: „$f_1$ wächst, also muss der Graph der Ableitungsfunktion von $f_1$ immer ..., $f_2$ fällt, also muss der Graph der Ableitungsfunktion von $f_2$ immer ... . Und $f_3$ ist konstant, also muss der Graph der Ableitungsfunktion von $f_3$ ...“ Fülle die Lücken und erkläre, warum das stimmt.
- $f_1$ wächst, also muss der Graph der Ableitungsfunktion von $f_1$ oberhalb der $x$-Achse verlaufen.
- $f_2$ fällt, also muss der Graph der Ableitungsfunktion von $f_2$ unterhalb der $x$-Achse verlaufen.
- $f_3$ ist konstant, also muss der Graph der Ableitungsfunktion von $f_3$ parallel zu $x$-Achse verlaufen.
Aufgabe 2
Das Applet unter der Aufgabe zeigt oben drei Graphen von Ausgangsfunktionen; unten sind drei Graphen von Ableitungsfunktionen gegeben.
(a) Ordne jeder Ausgangsfunktion die passende Ableitungsfunktion zu. Begründe kurz mündlich, warum deine Zuordnung richtig ist.
- $f_1' = g_3$
- $f_2' = g_1$
- $f_3' = g_2$
(b) C. betrachtet die Ausgangsfunktionen und sagt: „Man kann ja direkt erkennen, dass die Ableitung von allen drei Graphen für $x=0$ und $x=2$ null sein muss.“ Erkläre, woran sie das erkennt.
An den Stellen $x=0$ und $x=2$ haben die Graphen jeweils eine horizontale Tangente.
(c) D. betrachtet nur $f_1$ und sagt: „Der Graph hat bei $x=0$ einen Hochpunkt. Dabei gilt immer: Die Ableitung ist ein Stückchen links davon ... und rechts davon ...“ Fülle die beiden Lücken. Kontrolliere mit den Hochpunkten der anderen Graphen.
Die Ableitung ist ein Stückchen links von einem Hochpunkt positiv und rechts davon negativ“.
(d) Formuliere eine ähnliche Aussage für Tiefpunkte (z.B. bei $x=2$ im Graphen $f_1$).
Die Ableitung ist ein Stückchen links von einem Tiefpunkt negativ und rechts davon positiv“.
Aufgabe 3
Das Applet unter der Aufgabe zeigt oben drei Graphen von Ausgangsfunktionen; unten sind drei Graphen von Ableitungsfunktionen gegeben.
(a) Ordne jeder Ausgangsfunktion die passende Ableitungsfunktion zu. Begründe kurz mündlich, warum deine Zuordnung richtig ist.
- $f_1' = g_2$
- $f_2' = g_1$
- $f_3' = g_3$
(b) E. betrachtet die Ausgangsfunktionen und sagt: „Einer der Graphen wächst beschleunigt, einer wächst gleichmäßig und einer wächst gebremst.“ Erkläre, was sie damit meint. Welcher Graph ist hier welcher?
- Der Graph wächst beschleunigt bedeutet
die Steigung wird immer größer
. - Der Graph wächst gebremst bedeutet
die Steigung wird immer kleiner
. - Der Graph wächst gleichmäßig bedeutet
die Steigung bleibt gleich
.
