Lösungen zu Übungen - Höhere Ableitungen
Aufgabe 1
Ergänze in den Tabellen die Funktionsterme der höheren Ableitungen.
(a)
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 0.5x + 1$ | Ausgangsfunktion |
| $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 0.5$ | 1. Ableitung(sfunktion) |
| $f''(x) = 12x^2 - 12x + 2$ | 2. Ableitung(sfunktion) |
| $f'''(x) = 24x - 12$ | 3. Ableitung(sfunktion) |
| $f^{(4)}(x) = 24$ | 4. Ableitung(sfunktion) |
| $f^{(5)}(x) = 0$ | 5. Ableitung(sfunktion) |
(b)
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| $f(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$ | Ausgangsfunktion |
| $f'(x) = (-1)x^{-2} = - \dfrac{1}{x^2}$ | 1. Ableitung(sfunktion) |
| $f''(x) = 2x^{-3} = \dfrac{2}{x^3}$ | 2. Ableitung(sfunktion) |
| $f'''(x) = (-6)x^{-4} = - \dfrac{6}{x^4}$ | 3. Ableitung(sfunktion) |
Aufgabe 2
Welche Funktion erhält man, wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $4$ genau 5-mal ableitet? Begründe.
Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $4$ ...
- 1-mal ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $3$. Das ist eine kubische Funktion.
- 2-mal ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $2$. Das ist eine quadratische Funktion.
- 3-mal ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $1$. Das ist eine lineare Funktion.
- 4-mal ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $0$. Das ist eine konstante Funktion.
- 5-mal ableitet, erhält man die Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = 0$.
Aufgabe 3
Die Tabelle zeigt die Bewegungsfunktionen beim freien Fall. Ergänze die Funktionsterme. Deute auch die Terme (z.B.: Was bedeutet es, wenn man für $a(t)$ eine Zahl erhält?).
(a) (näherungsweise Version)
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| $s(t) = 5 t^2$ | Ausgangsfunktion Zeit-Weg-Funktion |
| $v(t) = s'(t) = 10t$ | 1. Ableitung(sfunktion) Zeit-Geschwindigkeit-Funktion |
| $a(t) = v'(t) = s''(t) = 10$ | 2. Ableitung(sfunktion) Zeit-Beschleunigung-Funktion |
$a(t) = 10$ bedeutet, dass die Beschleunigung beim freien Fall konstant ist.
(b) (exakte Version)
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| $s(t) = \frac{1}{2} g t^2$ | Ausgangsfunktion Zeit-Weg-Funktion |
| $v(t) = s'(t) = gt$ | 1. Ableitung(sfunktion) Zeit-Geschwindigkeit-Funktion |
| $a(t) = v'(t) = s''(t) = g$ | 2. Ableitung(sfunktion) Zeit-Beschleunigung-Funktion |
$a(t) = g$ bedeutet, dass die Beschleunigung beim freien Fall konstant ist.
